二次函数

　　二次函数与圆的知识一样,在初中数学占有重要的地位.对二次函数的考查经常跟方程等知识相结合.

　　概念与图像

　　重点难点

　　(1)能够根据实际问题,熟练地列出二次函数关系式,并求出函数的自变量的取值范围.

　　(2)理解抛物线的有关概念,会用描点法画出二次函数y=ax2的图象,探索掌握二次函数的性质.

　　内容提要

　　(1)形如y=ax2＋bx＋c(a、b、、c是常数,a≠0)的函数叫做x的二次函数,a叫做二次函数的系数,b叫做一次项的系数,c叫作常数项．

　　(2)当aO时,抛物线y=ax2开口向上,在对称轴的左边,曲线自左向右上升；在对称轴的右边,曲线自左向右下降,顶点抛物线上位置最高的点.图象的这些特点,反映了当aO时,函数y=ax2的性质；当x0时,函数值y随x的增大而增大；与xO时,函数值y随x的增大而减小,当x=0时,函数值y＝ax2取得最大值,最大值是y＝0.

　　典型一例

　　某果园有100棵橙子树,每一棵树平均结600个橙子.现准备多种一些橙子树以提高产量,但是如果多种树,那么树之间的距离和每一棵树所接受的阳光就会减少.根据经验估计,每多种一棵树,平均每棵树就会少结5个橙子.

　　求增种树的棵数与橙子总产量之间的函数关系.

　　假设果园增种x棵橙子树,果园橙子的总产量为y(个),依题意,果园共有（100+x）棵树,平均每棵树结（600-5x）个橙子.

　　y=(100+x)(600-5x)

　　=-5x2+100x+60000.

　　图象性质

　　重点难点

　　(1)确定函数y=a(x－h)2＋k的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标,理解函数y=a(x－h)2＋k的图象与函数y=ax2的图象之间的关系,理解函数y=a(x－h)2＋k的性质.

　　(2)正确理解函数y=a(x－h)2＋k的图象与函数y=ax2的图象之间的关系以及函数y=a(x－h)2＋k的性质是难点.

　　探索求知

　　1.你能发现函数y=2(x－1)2＋1的图象有哪些性质吗?

　　函数y＝2(x－1)2＋1的图象可以看成是将函数y=2(x－1)2的图象向上平称1个单位得到的,也可以看成是将函数y=2x2的图象向右平移1个单位再向上平移1个单位得到的.

　　当x＜1时,函数值y随x的增大而减小,当x＞1时,函数值y随x的增大而增大；当x=1时,函数取得最小值,最小值y=1.

　　2.你能说出函数y=－13(x－1)2＋2的图象与函数y=－13x2的图象的关系,由此进一步说出这个函数图象的开口方向、对称轴和顶点坐标吗?

　　函数y＝－13(x－1)2＋2的图象可以看成是将函数y=－13x2的图象向右平移一个单位再向上平移2个单位得到的,其开口向下,对称轴为直线x=1,顶点坐标是(1,2)

　　描点法

　　重点难点

　　(1)用描点法画出二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象;通过配方确定抛物线的对称轴、顶点坐标.

　　(2)理解二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的性质以及它的对称轴(顶点坐标分别是x＝－b2a、(－b2a,4ac－b24a)是难点.

　　探索求知

　　1．你能说出函数y＝－4(x－2)2＋1图象的开口方向、对称轴和顶点坐标吗?

　　函数y＝－4(x－2)2＋1图象的开口向下,对称轴为直线x＝2,顶点坐标是(2,1).

　　2．函数y＝－4(x－2)2＋1图象与函数y＝－4x2的图象有什么关系?

　　函数y＝－4(x－2)2＋1的图象可以看成是将函数y＝－4x2的图象向右平移2个单位再向上平移1个单位得到的.

　　3．函数y＝－4(x－2)2＋1具有哪些性质?

　　当x＜2时,函数值y随x的增大而增大,当x＞2时,函数值y随x的增大而减小；当x＝2时,函数取得最大值,最大值y＝1.

　　4．不画出图象,你能直接说出函数y＝－12x2＋x－52的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标吗?

　　因为y＝－12x2＋x－52＝－12(x－1)2－2,所以这个函数的图象开口向下,对称轴为直线x＝1,顶点坐标为(1,－2).

　　经典一例

　　请画出函数y＝－12x2＋x－52的图象,并说明这个函数具有哪些性质.

　　分析:由以上探索求知,大家已经知道函数y＝－12x2＋x－52的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标.根据这些特点,可以采用描点法作图的方法作出函数y＝－12x2＋x－52的图象,进而观察得到这个函数的性质.

　　(1)列表：在x的取值范围内列出函数对应值表；

　　x…－2－101234…

　　y…－612

　　－4－212

　　－2－212

　　－4－612

　　…

　　(2)描点：用表格里各组对应值作为点的坐标,在平面直角坐标系中描点.

　　(3)连线：用光滑的曲线顺次连接各点,得到函数y＝－12x2＋x－52的图象.

　　说明：(1)列表时,应根据对称轴是x＝1,以1为中心,对称地选取自变量的值,求出相应的函数值.相应的函数值是相等的.

　　(2)直角坐标系中x轴、y轴的长度单位可以任意定,且允许x轴、y轴选取的长度单位不同.所以要根据具体问题,选取适当的长度单位,使画出的图象美观.

　　则可得到这个函数的性质如下:

　　当x＜1时,函数值y随x的增大而增大；当x＞1时,函数值y随x的增大而减小；

　　当x＝1时,函数取得最大值,最大值y＝－2.

　　解决问题

　　重点难点

　　根据实际问题建立二次函数的数学模型,并确定二次函数自变量的范围,既是这部分知识的重点也是难点.

　　探索求知

　　1．通过配方,写出下列抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标.

　　(1)y＝6x2＋12x；(2)y＝－4x2＋8x－10.

　　y＝6(x＋1)2－6,抛物线的开口向上,对称轴为x＝－1,顶点坐标是(－1,－6)；y＝－4(x－1)2－6,抛物线开口向下,对称轴为x＝1,顶点坐标是(1,－6).

　　2.以上两个函数,哪个函数有最大值,哪个函数有最小值?说出两个函数的最大值、最小值分别是多少?

　　函数y＝6x2＋12x有最小值,最小值y＝－6,函数y＝－4x2＋8x－10有最大值,最大值y＝－6.