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  【关于抛物线和圆(初中)有一抛物线,y=x^2+2mx-n^2过点(1,1)他与坐标轴有三个交点,这三个交点可构成一圆,随着mn的变化,有的位置在变.证明:圆经过定点.并求定点的坐标.】

  关于抛物线和圆(初中)

  有一抛物线,y=x^2+2mx-n^2过点(1,1)

  他与坐标轴有三个交点,这三个交点可构成一圆,随着mn的变化,有的位置在变.证明:圆经过定点.并求定点的坐标.

1回答
2020-01-23 23:41
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马海红

  抛物线过(1,1),所以有:1=1^2+2m-n^2,即n^2=2m;

  抛物线方程可化为y=x^2+2mx-2m.

  与坐标轴有三个交点,则与y轴交于(0,-2m),

  与x轴交于(x1,0),(x2,0),且有:

  x1+x2=-2m

  x1*x2=-2m

  三个交点构成一圆,设圆方程为x^2+y^2+Ax+By+C=0

  则有:

  4m^2-2mB+C=0①

  x1^2+Ax1+C=0②

  x2^2+Ax2+C=0③

  ②-③得

  (x1+x2)(x1-x2)+A(x1-x2)=0

  x1-x2≠0,故x1+x2+A=0,即A=-(x1+x2)=2m

  ②+③得

  x1^2+x2^2+A(x1+x2)+2C=0,得

  C=-2m

  由①得

  B=2m-1

  所以圆方程为x^2+y^2+2mx+(2m-1)y-2m=0,2m(x+y-1)+x^2+y^2-y=0

  所以圆经过由

  x+y-1=0④

  x^2+y^2-y=0⑤

  组成的方程组所得解的点

  即点(0,1),(1/2,1/2)

2020-01-23 23:45:04

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