二次函数

　　I.定义与定义表达式

　　一般地,自变量x和因变量y之间存在如下关系：

　　y=ax²+bx+c（a,b,c为常数,a≠0）

　　则称y为x的二次函数.

　　二次函数表达式的右边通常为二次三项式.

　　II.二次函数的三种表达式

　　一般式：y=ax²+bx+c（a,b,c为常数,a≠0）

　　顶点式：y=a(x-h)²+k[抛物线的顶点P（h,k）]

　　交点式：y=a(x-x1)(x-x2)[仅限于与x轴有交点A（x1,0）和B（x2,0）的抛物线]

　　注：在3种形式的互相转化中,有如下关系:

　　h=-b/2ak=(4ac-b²)/4ax1,x2=(-b±√b²-4ac)/2a

　　III.二次函数的图象

　　在平面直角坐标系中作出二次函数y=x²的图象,

　　可以看出,二次函数的图象是一条抛物线.

　　IV.抛物线的性质

　　1.抛物线是轴对称图形.对称轴为直线

　　x=-b/2a.

　　对称轴与抛物线唯一的交点为抛物线的顶点P.

　　特别地,当b=0时,抛物线的对称轴是y轴（即直线x=0）

　　2.抛物线有一个顶点P,坐标为

　　P[-b/2a,(4ac-b²)/4a].

　　当-b/2a=0时,P在y轴上；当Δ=b²-4ac=0时,P在x轴上.

　　3.二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小.

　　当a＞0时,抛物线向上开口；当a＜0时,抛物线向下开口.

　　|a|越大,则抛物线的开口越小.

　　4.一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置.

　　当a与b同号时（即ab＞0）,对称轴在y轴左；

　　当a与b异号时（即ab＜0）,对称轴在y轴右.

　　5.常数项c决定抛物线与y轴交点.

　　抛物线与y轴交于（0,c）

　　6.抛物线与x轴交点个数

　　Δ=b²-4ac＞0时,抛物线与x轴有2个交点.

　　Δ=b²-4ac=0时,抛物线与x轴有1个交点.

　　Δ=b²-4ac＜0时,抛物线与x轴没有交点.

　　V.二次函数与一元二次方程

　　特别地,二次函数（以下称函数）y=ax²+bx+c,

　　当y=0时,二次函数为关于x的一元二次方程（以下称方程）,

　　即ax²+bx+c=0

　　此时,函数图象与x轴有无交点即方程有无实数根.

　　函数与x轴交点的横坐标即为方程的根.