设正多面体的每个面是正n边行,每个顶点是m条棱,于是,棱数E应是F（面数）与n的积的一半,即

　　Nf=2E--------------1式

　　同时,E应是V（顶点数）与M的积的一半,即

　　mV=2E--------------2式

　　由1式、2式,得

　　F=2E/n,V=2E/m,

　　代入欧拉公式

　　V+F-E=2,

　　有

　　2E/m+2E/n-E=2

　　整理后,得1/m+1/n=1/2+1/E.

　　由于E是正整数,所以1/E>0.因此

　　1/m+1/n>1/2--------------3式

　　3式说明m,n不能同是大于3,否则3式不成立.另一方面,由于m和n的意义（正多面体一个顶点处的棱数与多边形的边数）知,m>=3且n>=3.因此m和n至少有一个等于3

　　当m=3时,因为1/n>1/2-1/3=1/6,n又是正整数,所以n只能是3,4,5

　　同理n=3,m也只能是3,4,5

　　所以

　　nm类型

　　33正四面体

　　43正六面体

　　34正八面体

　　53正十二面体

　　35正二十面体

　　由于上述5种多面体确实可以用几何方法作出,而不可能有其他种类的正多面体

　　所以正多面体只有5种

　　参考资料：欧拉定理