椭圆面积公式S=圆周率*ab（其中a、b分别是椭圆的长半轴、短半轴的长）

　　椭圆面积公式S=圆周率ab（其中a、b分别是椭圆的长半轴、短半轴的长）.在中学数学教材中,仅在高中《平面解析几何》的习题中作为已知公式给出过,直到高等数学的定积分学习时才给出定积分推导.现用初等数学方法作两种推导,供读者参考.

　　定理1.若夹在两条平行直线间的两个平面图形,被平行于两条平行直线的任一直线所截,如果截得的两条线段长的比例总相等,那么这两个平面图形的面积比等于截得线段长的比.

　　注：此定理相当于祖暅原理的推论,故证明从略.

　　方法一：设椭圆C的方程为（a>b>0）,辅助圆C的方程为x2+y2=b2,且一直线L：y=m（）与两曲线相交,交点分别为M（x1,m）、N（x2,m）及P（x3,m）、Q(x,m),如图1.

　　由解得x=,

　　此时,=；

　　由解得x=±,（图1）

　　此时,=2.

　　、当,即b=|m|时,交点为（0,b）或（0,-b）；

　　、当,即b≠|m|时,有.

　　显然是一种特殊情况,即直线L与两曲线C、C交于一点,此时与求椭圆C的面积无影响,故可忽略；在情况下,即椭圆C的弦长|MN|与圆C的弦长|PQ|比恒为定值时,则当设椭圆C与圆C的面积分别为S、S时,由定理1得=,又圆C的面积S=πb,故有S=S=πb=πab.

　　所以椭圆C的面积公式为S=πab（其中a、b分别是椭圆的长半轴、短半轴的长）.