【题目】

　　已知在△ABC中,∠CAB=2α,且0＜α＜30°,AP平分∠CAB,若∠ABC=60°-α,点P在△ABC的内部,且使∠CBP=30°,求∠APC的度数（用含α的代数式表示）.

　　【解法一】

　　延长AC至M,使AM=AB,连接PM,BM（如图1）

　　∵AP平分∠CAB,∠CAB=2α

　　∴∠1=∠2= α

　　在△AMP和△ABP中：

　　∵AM=AB,∠1 =∠2,AP=AP

　　∴△AMP≌△ABP

　　∴PM=PB,∠3 =∠4

　　∵∠ABC=60°－α,∠CBP=30°

　　∴∠4=(60°－α)－30°=30°－α

　　∴∠3 =∠4 =30°－α

　　∵△AMB中,AM=AB

　　∴∠AMB=∠ABM=(180°－∠MAB)÷2 =(180°－2α)÷2 =90°－α

　　∴∠5=∠AMB－∠3= (90°－α)－(30°－α)=60°

　　∴△PMB为等边△

　　∵∠6=∠ABM－∠ABC = (90°－α)－(60°－α)=30°

　　∴∠6=∠CBP

　　∴BC平分∠PBM

　　∴BC垂直平分PM

　　∴CP=CM

　　∴∠7 =∠3 = 30°－α

　　∴∠ACP=∠7＋∠3=(30°－α)＋(30°－α)=60°－2α

　　∴△ACP中,∠APC=180°－∠1－∠ACP

　　=180°－α－(60°－2α)

　　=120°＋α

　　【解法二】

　　在AB上截取AM,使AM=AC,连接PM,延长AP交BC于N,连接MN（如图2）

　　∵AP平分∠CAB,∠CAB=2α

　　∴∠1=∠2=α

　　在△ACN和△AMN中：

　　∵AC=AM,∠1 =∠2, AN=AN

　　∴△ACN≌△AMN

　　∴∠3 =∠4

　　∵∠ABC=60°－α

　　∴∠3=∠2＋∠NBA=α＋(60°－α) =60°

　　∴∠3 =∠4 =60°

　　∴∠5=180°－∠3－∠4=180°－60°－60°=60°

　　∴∠4 =∠5

　　∴NM平分∠PNB

　　∵∠CBP=30°

　　∴∠6=∠3－∠NBP=60°－30°=30°

　　∴∠6=∠NBP

　　∴NP=NB

　　∴NM垂直平分PB

　　∴MP=MB

　　∴∠7 =∠8

　　∴∠6＋∠7 =∠NBP＋∠8

　　即∠NPM=∠NBM =60°－α

　　∴∠APM=180°－∠NPM =180°－(60°－α)=120°＋α

　　在△ACP和△AMP中：

　　∵AC=AM, ∠1 =∠2, AP=AP

　　∴△ACP≌△AMP

　　∴∠APC=∠APM

　　∴∠APC=120°＋α