求解二阶微分方程的初值问题:yy''=1+(-查字典问答网
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  求解二阶微分方程的初值问题:yy''=1+(y')^2,y(1)=1,y'(1)=0

  求解二阶微分方程的初值问题:yy''=1+(y')^2,y(1)=1,y'(1)=0

1回答
2020-01-23 16:59
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马良荔

  设y'=p,则y''=p(dp/dy)

  代入原方程得yp(dp/dy)=1+p²

  ==>pdp/(1+p²)=dy

  ==>ln(1+p²)=2ln│y│+C(C是积分常数)

  ∵y(1)=1,y'(1)=0

  ∴当x=1时,p=1==>C=0

  ∴ln(1+p²)=2ln│y│

  ==>1+p²=y²

  ==>y'=√(y²-1),或y'=-√(y²-1)

  ==>dy/√(y²-1)=dx,或dy/√(y²-1)=-dx

  ==>ln│y+√(y²-1)│=x+C,或ln│y+√(y²-1)│=-x+C(C是积分常数)

  ∵y(1)=1

  ∴C=-1,或C=1

  ==>y+√(y²-1)=e^(x-1),或y+√(y²-1)=e^(1-x)

  故原方程满足初值的解是y+√(y²-1)=e^(x-1),或y+√(y²-1)=e^(1-x).

2020-01-23 17:00:06

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