定积分的应用设（t,t²+1）为曲线段y=x&su-查字典问答网

来自姬慧莲的问题

　　定积分的应用设（t,t²+1）为曲线段y=x²+1上的点,(1)试求出由该曲线段与曲线在此点处的切线,以及x=0,x=α所围成图形的面积A(t).(2)当t取何值时,A(t)最小?

　　定积分的应用

　　设（t,t²+1）为曲线段y=x²+1上的点,

　　(1)试求出由该曲线段与曲线在此点处的切线,以及x=0,x=α所围成图形的面积A(t).

　　(2)当t取何值时,A(t)最小?

1回答

2020-01-23 14:07

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唐骞

　　答：

　　可以先粗略画草图方便理解.

　　(1).y'=2x,当x=t时,切线斜率为2t,又切线过(t,t^2+1),所以切线为y=2tx-t^2+1.

　　(我觉得题目应该是默认a>0的,但是没写清楚,所以还是加以讨论更为严谨)假设a>0,围成的面积为A(t)=∫(0到a)dx∫(2tx-t^2+1到x^2+1)dy

　　=∫(0到a)x^2-2tx+t^2dx

　　=x^3/3-tx^2+xt^2|(0到a)

　　=a^3/3-ta^2+at^2

　　a0时：A'(t)=2at-a^2,当A'(t)=0时,2at-a^2=0,即t=a/2；

　　当a0,当t

2020-01-23 14:10:05