二次函数知识点总结

　　1.定义：一般地,如果是常数,,那么叫做的二次函数.

　　2.二次函数的性质

　　（1）抛物线的顶点是坐标原点,对称轴是轴.

　　（2）函数的图像与的符号关系.

　　①当时抛物线开口向上顶点为其最低点；

　　②当时抛物线开口向下顶点为其最高点.

　　（3）顶点是坐标原点,对称轴是轴的抛物线的解析式形式为.

　　3.二次函数的图像是对称轴平行于（包括重合）轴的抛物线.

　　4.二次函数用配方法可化成：的形式,其中.

　　5.二次函数由特殊到一般,可分为以下几种形式：①；②；③；④；⑤.

　　6.抛物线的三要素：开口方向、对称轴、顶点.

　　①的符号决定抛物线的开口方向：当时,开口向上；当时,开口向下；

　　相等,抛物线的开口大小、形状相同.

　　②平行于轴（或重合）的直线记作.特别地,轴记作直线.

　　7.顶点决定抛物线的位置.几个不同的二次函数,如果二次项系数相同,那么抛物线的开口方向、开口大小完全相同,只是顶点的位置不同.

　　8.求抛物线的顶点、对称轴的方法

　　（1）公式法：,∴顶点是,对称轴是直线.

　　（2）配方法：运用配方的方法,将抛物线的解析式化为的形式,得到顶点为(,),对称轴是直线.

　　（3）运用抛物线的对称性：由于抛物线是以对称轴为轴的轴对称图形,所以对称轴的连线的垂直平分线是抛物线的对称轴,对称轴与抛物线的交点是顶点.

　　用配方法求得的顶点,再用公式法或对称性进行验证,才能做到万无一失.

　　9.抛物线中,的作用

　　（1）决定开口方向及开口大小,这与中的完全一样.

　　（2）和共同决定抛物线对称轴的位置.由于抛物线的对称轴是直线

　　,故：①时,对称轴为轴；②（即、同号）时,对称轴在轴左侧；③（即、异号）时,对称轴在轴右侧.

　　（3）的大小决定抛物线与轴交点的位置.

　　当时,,∴抛物线与轴有且只有一个交点（0,）：

　　①,抛物线经过原点;②,与轴交于正半轴；③,与轴交于负半轴.

　　以上三点中,当结论和条件互换时,仍成立.如抛物线的对称轴在轴右侧,则.

　　10.几种特殊的二次函数的图像特征如下：

　　函数解析式开口方向对称轴顶点坐标