泰勒公式确定几阶无穷小问题!f(x)=e^x-1-x-1/2-查字典问答网
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  泰勒公式确定几阶无穷小问题!f(x)=e^x-1-x-1/2*x*sinx,求当x→0时f(x)关于x的阶数?思路:这个题目先用麦克老林公式把e^x和sinx展开.书上答案是e^x=1+x+(x^2)/2+(x^3)/6+o(x^3)sinx=x-(x^3)/6+o(x^4)为什么e^x和sinx

  泰勒公式确定几阶无穷小问题!

  f(x)=e^x-1-x-1/2*x*sinx,求当x→0时f(x)关于x的阶数?

  思路:这个题目先用麦克老林公式把e^x和sinx展开.

  书上答案是e^x=1+x+(x^2)/2+(x^3)/6+o(x^3)

  sinx=x-(x^3)/6+o(x^4)

  为什么e^x和sinx分别展开至o(x^3)和o(x^4),

  而不展开至o(x^5)或更高项呢?

  一楼的:我问的就是问用泰勒公式如何求截...您别一来就按书上的答案...

  确定是几项有什么技巧么?

  难道还要把它们都展开?

  求得第N阶导数为0时再把N带入函数中运算?

1回答
2020-01-23 20:12
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葛剑平

  按书上答案就能知道:当x→0时,f(x)是关于x的3阶无穷小.

  如果展开时取的项数比他少,就说明不了这个结论.

  如果展开时取的项数比他多,如展开至o(x^5)或更高项,当然也能说明这个结论.

  达到同样的结论,当然选用最简洁的方法.

  确定是几项有什么技巧么?

  展开到出现第1个非0项啊!

  如f(x)=e^x-1-x-1/2*x*sinx,

  e^x=1+x+(x^2)/2+(x^3)/6+(x^4)/24+...

  xsinx=x^2-(x^4)/6+(x^6)/5!+...

  都取到x的1次项:f(x)=(1+x)-1-x-(1/2)*0=0,

  都取到x的2次项:f(x)=(1+x+x^2/2)-1-x-(1/2)*x^2=0,

  都取到x的3次项:f(x)=(1+x+x^2/2+x^3/6)-1-x-(1/2)*x^2=x^3/6,

  都取到x的4次项:f(x)=(1+x+x^2/2+x^3/6+x^4/24)-1-x-(1/2)*x^2-x^4/6=x^3/6+5x^4/24,

  .

  所以,当x→0时,f(x)是关于x的3阶无穷小.

  看到该取几项了吧!

  求得第N阶导数为0时再把N带入函数中运算?

  求导数也可以解这题,

  由f(0)=f’(0)=f’’(0)=0,f’’’(0)=1

  就知道f(x)是关于x的3阶无穷小,

  就不必再用泰勒展式了!用了泰勒展式就不必求导!

2020-01-23 20:14:25

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