对任意实数x,满足f(2x)=f(x),f(x)在x=0时连-查字典问答网
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  对任意实数x,满足f(2x)=f(x),f(x)在x=0时连续,证明f(x)是常数

  对任意实数x,满足f(2x)=f(x),f(x)在x=0时连续,证明f(x)是常数

1回答
2020-01-23 13:13
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陈云华

  证明:任取x≠0,则数列{xn}={x/2^n}(n从0到∞)收敛于0

  因为f(x)=f(2x)

  所以任取n,f(xn)=f(x0)=f(x)

  所以数列{f(xn)}是常数列,其极限等于每一项的值f(x)

  因为f(x)在x=0连续,所以lim(f(xn))=f(limxn)

  即f(x)=f(0)

  由x的任意性,f(x)=f(0)=const

2020-01-23 13:16:19

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