【近世代数欧式环的证明证明Z[√2]是一个欧式环】-查字典问答网
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  【近世代数欧式环的证明证明Z[√2]是一个欧式环】

  近世代数欧式环的证明

  证明Z[√2]是一个欧式环

1回答
2020-01-26 17:38
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顾沛然

  对任意给定的A=a+b√2,任取d=s+t√2,(这里a,b,x,y都是属于Z的).

  设范数N(A)=√(a^2+2b^2)

  只要找到到A`=a1+b1√2,使得:

  A=A'*d+r.

  其中r=r1+r2√2属于Z[√2],

  并且N(d)>N(r)>=0:由于总有A`和r使得上面的式子成立,因此我们只要证明有A'满足

  N(d)>N(r)即可.

  证明:

  由于N(.)在Q(√2)上有:

  N(a/b)=N(a)/N(b),a,b属于Q.特别地当a,b为整数是等号成立

  因此:

  N(r/d)=N(r)N(1/d)=N(r)/N(d)

2020-01-26 17:39:13

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