【如图,在平面直角坐标系xoy中,过y轴负方向上的一点C(0,c)任作一直线,与抛物线y=-x²相交于A,B两点,一条垂直于x轴的直线,分别于线段AB和直线l:y=-c交于P,Q点1若向量OA·OB=2,求c的值2若p为线段AB中】
如图,在平面直角坐标系xoy中,过y轴负方向上的一点C(0,c)任作一直线,与抛物线y=-x²相交于A,B两点,一条垂直于x轴的直线,分别于线段AB和直线l:y=-c交于P,Q点
1若向量OA·OB=2,求c的值
2若p为线段AB中点,求证QA为此抛物线的切线
3试问2的逆命题是否成立
说明理由
1.
设A(x1,y1)、B(x2,y2)即A(x1,x12)、B(x2,x22)
△=k2+4c>0
x1+x2=k,x1·x2=-c,y1·y2=(x1·x2)2=c2
x1x2+(x1·x2)2=c2-c=2
c=2,c=-1(舍去)
2.
过点C(0,2)直线L:y=kx+2...(1)
点A(a,a^2),B(b,b^2),点A在L上:a^2=ka+2...(2)
(1)代入y=x^2:x^2-kx-2=0==>a+b=k
==>P(k/2,k^2/2+2),Q(k/2,-2)
直线QA斜率=(a^2+2)/(a-2)...(3)
抛物线y=x^2在A(a,a^2)处切线斜率=y'(a)=2a...(4)
(2)(3)==>直线QA斜率=2a=抛物线y=x^2在A(a,a^2)处切线斜率
==>QA为此抛物线的切线
3.
抛物线y=x^2在A(a,a^2)处切线方程：y=2ax-a^2...(5)
(5)与直线y=-2的交点:Q[(a^2-2)/(2a),-2]
过点Q、垂直于X轴的直线：x=(a^2-2)/(2a)...(6)
直线AC：y=(a^2-2)x/a+2...(7)
(7)代入y=x^2:x^2-(a^2-2)x/a-2=0
==>直线AC与抛物线两交点的中点的横坐标=（a^2-2)/(2a)
中点在(6)上.证毕逆命题成立