高中圆锥曲线数学题!求解!离心率为(√5+1)/2的双曲线X-查字典问答网
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  高中圆锥曲线数学题!求解!离心率为(√5+1)/2的双曲线X^2/a^2-Y^2/b^2=1(a>0,b>0)上一点P,向以实轴为直径的圆O引两条切线,切点为A、B,直线AB与x轴、y轴分别交于M、N,则b^2/|OM|^2-a^2/|ON|^2=?求过程

  高中圆锥曲线数学题!求解!

  离心率为(√5+1)/2的双曲线X^2/a^2-Y^2/b^2=1(a>0,b>0)上一点P,向以实轴为直径的圆O引两条切线,切点为A、B,直线AB与x轴、y轴分别交于M、N,则b^2/|OM|^2-a^2/|ON|^2=?

  求过程

1回答
2020-01-26 11:33
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李新建

  若圆的方程为x²+y²=r^2,点m(x0,y0)在圆外,求证点m关于该圆的切点弦所在的直线方程是x0*x+y0*y=r²

  证明:设两个切点为A(x1,y1)、B(x2,y2)

  则过A点的切线为x1x+y1y=r²

  过B点的切线为x2x+y2y=r²

  ∵两条切线都过点M(x0,y0)

  ∴x1x0+y1y0=r²

  x2x0+y2y0=r²

  ∴点A(x1,y1)、B(x2,y2)都满足方程x0x+y0y=r²

  ∴直线AB的方程是x0x+y0y=r²

  ∴设双曲线上的P点(x0,y0),圆的方程是x^2+y^2=a^2

  则直线AB的方程是x0x+y0y=a²

  令x=0,ON=y=|a²/y0|,即|yo|=a^2/ON

  令y=0,OM=x=|a²/x0|,即|xo|=a^2/OM

  又P在双曲线上,则有xo^2/a^2-yo^2/b^2=1

  即有a^2/OM^2-a^4/(b^2*ON^2)=1

  即有b^2/OM^2-a^2/ON^2=b^2/a^2

  又e^2=c^2/a^2=1+b^2/a^2=(5+1+2根号5)/4=(3+根号5)/2

  即有b^2/a^2=(3+根号5)/2-1=(根号5+1)/2

  即有b^2/OM^2-a^2/ON^2=(根号5+1)/2

2020-01-26 11:37:32

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