【轨迹方程数学题已知圆C:x^2+(y-1)^2=5,直线l-查字典问答网
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  【轨迹方程数学题已知圆C:x^2+(y-1)^2=5,直线l:mx-y+1-m=0.(1)求证:对m∈R,直线l圆C总有两个不同的交点.(2)设l与圆C交于不同两点A,B若|AB|=根号17,求l的倾斜角.(3)求弦AB的中点M的轨迹方程.(4)若定点P(1】

  轨迹方程数学题

  已知圆C:x^2+(y-1)^2=5,直线l:mx-y+1-m=0.

  (1)求证:对m∈R,直线l圆C总有两个不同的交点.

  (2)设l与圆C交于不同两点A,B若|AB|=根号17,求l的倾斜角.

  (3)求弦AB的中点M的轨迹方程.

  (4)若定点P(1,1)分向量AB之比λ=1/2(即向量AP=λ向量PB),求此时直线l的方程.

1回答
2020-01-26 15:30
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马江洪

  1.用点到直线距离公式

  则距离

  d=|0*m-1+1-m|/(根号(m²+1)=|m|/(m²+1)

  =1/(|m|+1/|m|)

  因为|m|≥0由均值不等式

  所以|m|+1/|m|≥2

  所以

  d=1/(|m|+1/|m|)∈(0,1/2】<圆半径根号5

  所以对m∈R,直线l圆C总有两个不同的交点.

  2.圆的半径=根号5,由|AB|=根号17,

  可得圆心到直线的距离=根号下[r^2-(AB一半)^2]=二分之根号3

  圆心坐标C(0,1)

  圆心到直线的距离d=|m*0-1+1-m|÷根号(1+m^2)=二分之根号3

  解得:m1=根号3m2=-根号3

  又直线斜率k=m

  所以倾斜角a=arctanm

  所以a1=arctan根号3=60度

  a2=arctan(-根号3)=120度

  3.设A(x1,y1)B(x2,y2)

  l:m(x-1)+1

  x1^2+(y1-1)^2=5

  x2^2+(y2-1)^2=5

  所以(x1+x2)(x1-x2)+(y1+y2-2)(y1-y2)=0

  设M(x,y)

  则2x=x1+x2,2y=y1+y2

  所以2x=(2y-2)m=0

  又m=(y-1)/(x-1)

  2x=(2y-2)(y-1)/(x-1)

  整理得x^2+y^2-x-2y+1=0

  4.作CD垂直AB于D

  △CDP中PD^2=1-CD^2

  △DCA中AD^2=5-CD^2

  AD-3PD

  所以PD=根号2/2

  |-1+1-m|/根号(m^2+1)=根号2/2

  m=正负1

  y=x或y=2-x

2020-01-26 15:33:01

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