【一道高二数学题P为抛物线y=x²/2上的一点,抛物线的焦点为F,PC垂直于直线y=-1/2,垂足为C,已知直线AB垂直PF分别交x、y轴于A、B.（1）求使△PCF为等边三角形的点P坐标（2）是否存在点P,使P平分】
一道高二数学题
P为抛物线y=x²/2上的一点,抛物线的焦点为F,PC垂直于直线y=-1/2,垂足为C,已知直线AB垂直PF分别交x、y轴于A、B.
（1）求使△PCF为等边三角形的点P坐标
（2）是否存在点P,使P平分线段AB?若存在,求P坐标,若不存在,请说明理由.
（1）F（0,1/2）,P（a,a^2/2）,C（a,-1/2）,因为PCF为等边三角形,因此|FC|=|PC|,且PC中点的纵坐标为1/2,那么由(a^2/2-1/2)/2=1/2得a^2=3,解得a=±√3,此时|FC|=|PC|=|PF|=2,因此P坐标为（-√3,3/2...
题目的意思很清楚吧，是过P啊,意思是求证点P平分AB
（2）设P（a，a^2/2），则kPF=(a^2/2-1/2)/(a-0)=(a^2-1)/(2a)，因此kAB=-2a/(a^2-1)，那么AB方程为y-a^2/2=-2a/(a^2-1)*(x-a)，令y=0得x=a+a(a^2-1)/4，令x=0得y=a^2/2+2a^2/(a^2-1)，因此A（a+a(a^2-1)/4，0），B（0，a^2/2+2a^2/(a^2-1)），所以，AB中点坐标为2a=a+a(a^2-1)/4，a^2=a^2/2+2a^2/(a^2-1)，解得a=±√5，所以，存在这样的P（-√5，5/2）或P（√5，5/2）满足条件。