证明：因为,m∈M,n∈M所以m=a+b√2,n=,c+d√2,其中a,b,c,d∈Q,

　　m+n=(a+c)+(b+d)√2,因为a+c∈Q,b+d∈Q,所以m+n∈M.

　　m-n=(a-c)+(b-d)√2,因为a-c∈Q,b-d∈Q,所以m-n∈M

　　mn=(ac+2bd)+(ad+bc)√2,因为ac+2bd∈Q,ad+bc∈Q,所以mn∈M

　　m÷n=(ac-2d^2)/(c^2-2d^2)+(bc-ad)√2/(c^2-2d^2).因为(ac-2d^2)/(c^2-2d^2)∈Q,(bc-ad)/(c^2-2d^2)∈Q,

　　所以m÷n∈M