已知椭圆C1:X^2/a^2+Y^2/b^2=1(a>b>0-查字典问答网

来自苏国平的问题

　　已知椭圆C1:X^2/a^2+Y^2/b^2=1(a>b>0)的右焦点为F,上顶点为A,P为C1上任一点,MN是圆C2:X^2+(Y-3)^2=1的一条直径,若与AF平行且在Y轴上的截距为3-根号2的直线l恰好与圆C2相切.1）求椭圆C1的离心率；2）向量PM

　　已知椭圆C1:X^2/a^2+Y^2/b^2=1(a>b>0)的右焦点为F,上顶点为

　　A,P为C1上任一点,MN是圆C2:X^2+(Y-3)^2=1的一条直径,若与AF

　　平行且在Y轴上的截距为3-根号2的直线l恰好与圆C2相切.1）求椭

　　圆C1的离心率；2）向量PM*向量PN的最大值为49,求椭圆C1的方程

　　3）若过椭圆的右焦点为F的直线L交椭圆C1于两点S,T交Y轴于R点,若

　　向量RS=a1向量SF,向量RT=a2向量TF,求证a1+a2是定值.

1回答

2020-01-26 22:18

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聂雅琳

　　我求的方程是x^2/32+y^2/16=1F(4,0)

　　按这个计算

　　设L:x=my+4(m≠0),S(x1,y1)T(x2,y2).令y=0,得R(0,-4/m)

　　与椭圆方程联立,得m^2*y^2+8m*y-16=0①

　　向量RS=(x1,y1+4/m)向量RT=(x2,y2+4/m)

　　向量SF=(4-x1,-y1)向量TF=(4-x2,-y2)

　　则y1+4/m=a1*-y1y2+4/m=a2*-y2

　　所以y1=-4/m(1+a1)y2=-4/m(2+a2)

　　代入①,得到方程并化简,

　　得m^2*a1^2+4*m^2*a1+2*m^2-2=0

　　m^2*a2^2+4*m^2*a2+2*m^2-2=0

　　即a1,a2是方程m^2*x^2+4*m^2*x+2*m^2-2=0的两根

　　由韦达定理,a1+a2=-4

　　如果m不存在,讨论与x轴重合的情况,容易计算出a1+a2=-4

　　如果计算有错误,就按正确的算,方法应该是正确的,

　　这一种题都是这么做的

2020-01-26 22:19:44