球一道数学题已知:△ABC,作三条内角平分线AD,BE,CF-查字典问答网
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  球一道数学题已知:△ABC,作三条内角平分线AD,BE,CF,与三条边BC,AC,AB分别交与E,D,F,求证:S△DEF:S△ABC=2abc:(a+b)(b+c)(c+a)abc分别是BC,AC,AB

  球一道数学题

  已知:△ABC,作三条内角平分线AD,BE,CF,与三条边BC,AC,AB分别交与E,D,F,求证:S△DEF:S△ABC=2abc:(a+b)(b+c)(c+a)

  abc分别是BC,AC,AB

1回答
2020-01-27 08:47
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黄跃进

  同理:AF/BF=AC/BC=b/a,

  由合分比定理:AF/(AF+BF)=b/(b+a),即AF/AB=b/(b+a),

  于是BF/AB=a/(b+a),

  (BF/AB=(AB-AF)/AB=1-AF/AB=1-b/(b+a)=a/(b+a))

  同理BD/BC=c/(b+c),

  记S0=S△ABC,

  S△ABD/S△ABC=BD/BC=c/(b+c),

  即S△ABD/S△ABC=c/(b+c),…………③

  S△BDF/S△ABD=BF/BA=a/(b+a),

  即S△BDF/S△ABD=a/(b+a),…………④

  ③、④两式相乘,S△BDF/S△ABC=ac/(b+c)(b+a),

  S△BDF=S△ABC*ac/(b+c)(b+a),

  即S△BDF=S0*ac/(b+c)(b+a),

  同理:

  S△AEF=S0*bc/(a+c)(b+a),

  S△CDE=S0*ab/(b+c)(c+a),

  于是:

  S△DEF=S△ABC-S△FBD-S△AEF-S△CDE

  =S0*[1-ac/(b+c)(b+a)-bc/(a+c)(b+a)-ab/(b+c)(c+a)]

  =S0*[(b+a)(b+c)(c+a)-ac(c+a)-bc(b+c)-ab(b+a)]/(b+a)(b+c)(c+a)

  =S0*2abc/(b+a)(b+c)(c+a),

  故

  S△DEF/S△ABC=S△DEF/S0=2abc/(b+a)(b+c)(c+a).

  这一证法思路很简单,但计算稍微多了一点.

2020-01-27 08:48:54

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