【1、已知关于x的方程x^2+ax+b=0有两个不相等的实根-查字典问答网

来自马迅飞的问题

　　【1、已知关于x的方程x^2+ax+b=0有两个不相等的实根,求证：方程x^4+ax^3+(b-2)x^2-ax+1=0有四个不同的实数根.2、当m是什么整数时,关于x的一元二次方程：mx^2-4X+4=0与x^2-4mx+4m^2-4m-5=0的解都是整数?】

　　1、已知关于x的方程x^2+ax+b=0有两个不相等的实根,求证：方程x^4+ax^3+(b-2)x^2-ax+1=0有四个不同的实数根.

　　2、当m是什么整数时,关于x的一元二次方程：mx^2-4X+4=0与x^2-4mx+4m^2-4m-5=0的解都是整数?

1回答

2020-01-28 04:25

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孙昌平

　　第一题会

　　证：

　　x^4+ax^3+(b-2)x^2-ax+1=0

　　x^2+ax+b-2-a/x+(1/x^2)=0

　　(x-1/x)^2+a(x-1/x)+b=0

　　令x-1/x=y,代入上式,有：

　　y^2+ay+b=0

　　由已知,可得：y有两个不相同的实根,不妨设为y1、y2,

　　即：x-1/x=y1、或：x-1/x=y2

　　整理：x^2-(y1)x-1=0,和x^2-(y2)x-1=0

　　△=(y1)^2+4＞0,△=(y2)^2+4＞0

　　因此每个方程均有两个不同的实根

　　因为y1≠y2,故无重根.

　　所以,方程x^4+ax^3+(b-2)x^2-ax+1=0有四个互不相等的实数根

　　证毕.

2020-01-28 04:26:31