一个数学题过X轴上的动点A(a,0),向抛物线y=x^2+1-查字典问答网
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  一个数学题过X轴上的动点A(a,0),向抛物线y=x^2+1引两切线,AP,AQ,P,Q为切点,1、若AP,AQ的斜率分别为K1,K2求证.K1K2为定值2、求证,直线PQ过定点.3、若a不等于0,试求三角形APQ的面积/|AQ|为定值请高手帮

  一个数学题

  过X轴上的动点A(a,0),向抛物线y=x^2+1引两切线,AP,AQ,P,Q为切点,1、若AP,AQ的斜率分别为K1,K2求证.K1K2为定值

  2、求证,直线PQ过定点.

  3、若a不等于0,试求三角形APQ的面积/|AQ|为定值请高手帮忙详细解答,万分感谢

1回答
2020-01-29 08:02
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李银国

  设过A点直线方程为y=Kx-aK,

  与抛物线相切,即x^2+1=Kx-aK

  化为x^2-Kx+1+aK=0只有一解

  则△=0,即K^2-4(1+aK)=0K^2+4aK-4=0

  解得K1=[-4a+√(16a^2+16)]/2=-2a+2√(a^2+1)

  K2=-2a-2√(a^2+1)

  K1*K2=-4问题1得证

  K1+K2=-4a

  x=K/2,将K1k2代入得x1=K1/2=-a+√(a^2+1)x2=K2/2=-a-√(a^2+1)

  则x1+x2=(K1+K2)/2=-2ax1*x2=-1

  设切点为P(x1,y1),Q(x2y2)

  PQ方程为y=[(y2-y1)/(x2-x1)]*x+y1-[(y2-y1)/(x2-x1)]*x1

  y=[(x2^2-x1^2)/(x2-x1)]*x+x1^2+1-[(x2^2-x1^2)/(x2-x1)]*x1

  y=(x2+x1)*x+x1^2+1-(x2+x1)*x1

  y=(x2+x1)*x+x1^2+1-(x2+x1)*x1

  y=-2a*x+x1^2+1-x1*x2-x1^2

  y=-2a*x+1-x1*x2

  y=-2a*x+2

  此方程即PQ过定点(0,2)问题2得证

  SAPQ=(y1+y2)(x1-x2)/2-(x1-a)*y1/2-(a-x2)*y2/2

  时间不够,下次再解

2020-01-29 08:03:00

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