抛物线高中数学问题已知抛物线y2=4x的焦点为F,过点P(2-查字典问答网
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  抛物线高中数学问题已知抛物线y2=4x的焦点为F,过点P(2,0)的直线交抛物线于A(x1,x2),B(x1,x2)俩点,直线AF,BF分别与抛物线交于点M,N.记直线MN的斜率为k1,直线AB的斜率为k2,证明:k1/k2为定值

  抛物线高中数学问题

  已知抛物线y2=4x的焦点为F,过点P(2,0)的直线交抛物线于A(x1,x2),B(x1,x2)俩点,直线AF,BF分别与抛物线交于点M,N.

  记直线MN的斜率为k1,直线AB的斜率为k2,证明:k1/k2为定值

1回答
2020-01-29 17:40
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钱国宁

  设AB:y=k(x+2)

  设A(x1,y1),B(x2,y2),

  C(x3,y3),D(x4,y4)

  ∴AM的方程是y=[y1/(x1-1)](x-1)

  设k0=y1/(x1-1)

  则AM:y=k0(x-1)

  与抛物线方程联立

  ∴k0²(x-1)²=4x

  ∴k0²-(2k0²+4)x+k0²=0

  利用韦达定理

  x3*x1=1

  ∴x3=1/x1

  ∴y3=k0(x3-1)=[y1/(x1-1)]*[1/x1-1]=-y1/x1

  即M(1/x1,-y1/x1)

  同理N(1/x2,-y2/x2)

  ∴k(MN)=(-y1/x1+y2/x2)/[1/x1-1/x2]

  =[-y1x2+x1y2]/(x2-x1)

  =[-k(x1+2)x2+k(x2+2)x1]/(x2-x1)

  =k(2x2-2x1)/(x2-x1)

  =k*2

  ∴K(MN)/k(AB)=2

  即k(MN)/k(AB)=2

  ∴k1/k2=2

  ∴k1/k2是定值,为2

  抱歉,原来的解答最后的几步输入错误,重新改动了.

2020-01-29 17:43:28

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