已知实数a,b,c满足a>b>c,且有a+b+c=1,a^2-查字典问答网
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  已知实数a,b,c满足a>b>c,且有a+b+c=1,a^2+b^2+c^2=1求证:a+b

  已知实数a,b,c满足a>b>c,且有a+b+c=1,a^2+b^2+c^2=1求证:a+b

1回答
2020-01-29 21:53
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宋礼鹏

  sunzhenwei114 所给出的答案不能成立.

  其中的a+b≧2√(ab)必须建立在a、b都是非负数的前提下,但条件中没有,也无法推出.

  下面给出一个合理的解法:

  ∵a+b+c=1、a^2+b^2+c^2=1,∴a+b=1-c、a^2+b^2=1-c^2.

  引入函数:f(x)=(x+a)^2+(x+b)^2.

  ∵a>b,∴f(x)>0.

  又f(x)=(x^2+2ax+a^2)+(x^2+2bx+b^2)=2x^2+2(a+b)x+(a^2+b^2),

  ∴f(x)=2x^2+2(1-c)x+(1-c^2).

  显然,f(x)是一条开口向上的抛物线,又f(x)>0.

  ∴方程2x^2+2(1-c)x+(1-c^2)=0的判别式<0,∴4(1-c)^2-8(1-c^2)<0,

  ∴(1-c)^2-2(1-c^2)<0,∴(1-c)[(1-c)-2(1+c)]<0,

  ∴(1-c)(-1-3c)<0,∴(3c+1)(c-1)<0,∴-1/3<c<1.

  由a+b+c=1,得:c=1-(a+b).

  ∴-1/3<1-(a+b)<1,∴-1<(a+b)-1<1/3,∴0<a+b<4/3.

  于是,问题得证.

2020-01-29 21:55:22

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