记M={a+b|a,bibN+,ab+1|a^2+b^2,且a^2+b^2/ab+1不是完全平方数}

　　若M不是空集,则必然存在最小数a0+b0,不妨设a0>=b0.

　　因为a0b0+1|a0^2+b0^2,设a0^2+b0^2/a0b0+1=k0ibN+,从而

　　a0^2-k0b0a0+b0^2-k0=0.

　　考虑一元二次方程x^2-k0b0x+b0^2-k0

　　显然a0是一根,设a1是方程的另一根

　　因为a0,b0,k0ibN+,由a0+a1=k0b0得,a1ibZ

　　由a0a1=b0^2-k0得,a1=b0^2-k0/a0

　　所以k0(b0a1+1)=a1^2+b0^2>0,所以b0a1+1>0,即b0a1>-1,所以b0a1>=0

　　所以a1>=0,若a1=0,则k0=b0^2,所以k00

　　由方程a1^2+b0^2/a1b0+1=k0,k0不是完全平方数

　　因为a0>=b0>0,k0ibN+,所以a0^2>=b0^2>b0^2-k0,所以a0>b0^2-k/a0=a1

　　即a0>a1,a0+b0>a1+b0,矛盾

　　得证...