定义新运算是指用一个符号和已知运算表达式表示一种新的运算.

　　如：

　　设a△b=a+b+ab

　　3△2=3+2+6=11

　　5△5=5+5+25=35

　　设a*b=﹙a+b﹚÷3

　　6*﹙5*4﹚=3

　　注意（1）解决此类问题,关键是要正确理解新定义的算式含义,严格按照新定义的计算顺序,将数值代入算式中,再把它转化为一般的四则运算,然后进行计算.

　　（2）我们还要知道,这是一种人为的运算形式.它是使用特殊的运算符号,如：*、▲、★、◎、、Δ、◆、■等来表示的一种运算.

　　（3）新定义的算式中,有括号的,要先算括号里面的.

　　例题定义新运算可以作为一类数学问题,如：

　　例1、x,y表示两个数,规定新运算"*"及"△"如下:x*y=mx+ny,x△y=kxy,其中m,n,k均为自然数,已知1*2=5,(2*3)△4=64,求(1△2)*3的值.

　　分析我们采用分析法,从要求的问题入手,题目要求(1△2)*3的值,首先我们要计算1△2,根据"△"的定义:1△2=k×1×2=2k,由于k的值不知道,所以首先要计算出k的值.k值求出后,1△2的值也就计算出来了,我们设1△2=a.

　　(1△2)*3=a*3,按"*"的定义:a*3=ma+3n,在只有求出m,n时,我们才能计算a*3的值.因此要计算(1△2)*3的值,我们就要先求出k,m,n的值.通过1*2=5可以求出m,n的值,通过(2*3)△4=64求出k的值.

　　解因为1*2=m×1+n×2=m+2n,所以有m+2n

　　=5.又因为m,n均为自然数,所以解出:

　　①当m=1,n=2时:

　　(2*3)△4=(1×2+2×3)△4

　　=8△4=k×8×4=32k

　　有32k=64,解出k=2.

　　②当m=3,n=1时:

　　(2*3)△4=(3×2+1×3)△4

　　=9△4=k×9×4=36k

　　所以m=l,n=2,k=2.

　　(1△2)*3=(2×1×2)*3

　　=4*3

　　=1×4+2×3

　　=10.

　　例2、假设a★b=(a+b)÷b.求8★5.

　　该题的新运算被定义为:a★b等于两数之和除以后一个数的商.这里要先算括号里面的和,再算后面的商.这里a代表数字8,b代表数字5.

　　8★5=（8+5）÷5=2.6

　　例3、如果a◎b=a×b-(a+b).求6◎（9◎2）.

　　根据定义,要先算括号里面的.这里的符号“◎”就是一种新的运算符号.

　　6◎（9◎2）

　　=6◎[9×2-（9+2）]

　　=6◎7

　　=6×7-（6+7）

　　=42-13

　　=29

　　例4、如果1Δ3=1+11+111；2Δ5=2+22+222+2222+22222；8Δ2=8+88.

　　求6Δ5.

　　仔细观察发现“Δ”前面的数字是加数每个数位上的数字,而加数分别是一位数,二位数,三位数,……“Δ”后面的数字是几,就有几个加数.因此可以按照这个规律进行解答