1．如图10,AB是⊙O的直径,C是弧BD的中点,CE⊥AB,垂足为E,BD交CE于点F．

　　（1）求证：；

　　（2）若,⊙O的半径为3,求BC的长．

　　答案：证明：（1）连结AC,如图10

　　∵C是弧BD的中点∴∠BDC=∠DBC又∠BDC=∠BAC

　　在三角形ABC中,∠ACB=90°,CE⊥AB∴∠BCE=∠BAC∠BCE=∠DBC

　　∴CF=BF因此,CF=BF．

　　（2）证法一：作CG⊥AD于点G,∵C是弧BD的中点

　　∴∠CAG=∠BAC,即AC是∠BAD的角平分线．∴CE=CG,AE=AG

　　在Rt△BCE与Rt△DCG中,CE=CG,CB=CD

　　∴Rt△BCE≌Rt△DCG∴BE=DG∴AE=AB-BE=AG=AD+DG

　　即6-BE=2+DG∴2BE=4,即BE=2

　　又△BCE∽△BAC∴（舍去负值）∴

　　（2）证法二：∵AB是⊙O的直径,CE⊥AB∴∠BEF=,

　　在与中,∵

　　∴∽,则

　　即,∴

　　又∵,∴

　　利用勾股定理得：

　　又∵△EBC∽△ECA则,即则

　　∴即

　　∴∴