1.

　　C’是C点关于AD的对称点,AC=AC’,

　　又AB=AC,所以B,C,C′在A为圆心,AB为半径的圆上,

　　∠BC′C=∠BAC/2（同弧上的圆周角等于圆心角的一半）

　　AP⊥CC′,∠P=90°-∠PC′C=90°-∠BAC/2=∠ABC.

　　又∠BAD=∠PAB,所以△BAD∽△PAB,

　　AB/AP=AD/AB,

　　AD*AP=AB^2,与点D在BC上的位置无关.

　　2.

　　直角顶点P在哪条对角线上滑动?AC上,还是BD上?

　　修改：

　　1.不用圆的知识来证明：∠BC′C=∠BAC/2

　　三角形ACC′,ABC′都是等腰三角形,

　　∠BC′A=(180-∠C′AB)/2,

　　∠CC′A=(180-∠C′AC)/2,

　　∠BC′C=∠BC′A-∠CC′A=(C′AC-∠C′AB)/2=

　　=∠BAC/2.

　　2.延长CD,BP交于E.

　　∠E=∠E,∠ECB=∠EPQ=90°,

　　△ECB∽△EPQ,

　　EC/EP=EB/EQ,

　　∠E=∠E,EC/EB=EP/EQ,

　　△ECP∽△EBQ,

　　∠ECP=∠EBQ,

　　即∠DCA=∠PBQ,又∠ADC=∠QPB=90°,

　　△ADC∽△QPB,

　　PQ/PB=AD/DC=√3.

　　学了四点共圆的内容后,证明∠DCA=∠PBQ是很容易的.