光的波动方程

　　本节揭示如何从显性的物理图景得出抽象的方程.假设有一个光的平面波,沿+z方向传播,正如我们研究平面电磁波中假设的那样.本质上光波也属于电磁波.在此,光波的极化概念由偏振替代,我们假设光波的偏振方向为y方向,振幅为A,角频率为ω,速度为c,初始相位为φ,那么可以如下描述光波的振动：

　　y(z,t)=Acos [ω(t-z/c)+φ](*)

　　这个描述是显性的,它直接来自上面假设的诸物理图景.t-z/c表示一个时间差,比较的基准是选取初始相位的那个位置和时刻.由于c=λf=λ/2π•2πf=ω/k,所以上式可以继续变形：

　　ω(t-z/c)=ωt-kz=kωt/k-kz=kct-kz

　　考虑到一般情况,在任意方向r,上式中的kz就变为k•r,其中k为传波矢量,k=kz.于是：

　　ω(t-z/c)=kct-k•r

　　把上式改写为两个四维矢量k4和r4的点积,并可采用张量的记法：

　　ω(t-z/c)=[kk][ct-r]T=k4•r4=kiri

　　于是,(*)可改写为：

　　y(z,t)=Acos [kiri+φ]

　　现在引入“复振幅”的概念,也正如电磁场理论中的概念一样.于是：

　　y(z,t)=ℜ(Aejφexp (jkiri))

　　令：

　　Ψ=Aexp (jkiri)

　　可以证明Ψ满足波动方程：

　　∂2Ψ/∂ri∂ri=□Ψ=0

　　其中,□为达朗贝尔算子,也记做∇42.