高中数学必修2的一道关于圆的题已知以点C(t,2/t)(t属-查字典问答网
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  高中数学必修2的一道关于圆的题已知以点C(t,2/t)(t属于R,t≠0)为圆心的圆与x轴交于点O,A,与y轴交于点O,B,其中O为原点.(1)求证:△OAB的面积为定值;(2)设直线y=-2x+4与圆C交于点M,N,若OM=ON,

  高中数学必修2的一道关于圆的题

  已知以点C(t,2/t)(t属于R,t≠0)为圆心的圆与x轴交于点O,A,与y轴交于点O,B,其中O为原点.

  (1)求证:△OAB的面积为定值;

  (2)设直线y=-2x+4与圆C交于点M,N,若OM=ON,求圆C的方程.

  重点是第二问的过程,

1回答
2020-02-02 21:39
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鲁娟

  (1)

  ∵圆C过原点O,∴OC²=t²+4/t²,

  则圆C的方程为(x-t)²+(y-2/t)²=t²+4/t²

  令x=0,得y=0,或y=4/t

  令y=0,得x=0,或x=2t

  所以,A点坐标为(2t,0),B点坐标为(0,4/t),

  ∴S△OAB=OA×OB×1/2=|4/t|×|2t|×1/2=4

  即,△OAB的面积为定值4

  (2)

  ∵|OM|=|ON|,|CM|=|CN|

  ∴OC垂直平分线段MN.

  ∵直线y的斜率=线段MN的斜率=-2

  ∴线段OC所在直线的斜率=1/2

  ∵点C坐标为(t,2/t)

  ∴(2/t)/t=1/2,即t²=4

  解得t=2,或t=-2

  当t=2时,

  圆心C的坐标为(2,1),半径OC=√5

  此时圆心到直线y=-2x+4的距离

  d=|-4-1+4|/√5=(√5)/5<√5

  即,圆C与直线y=-2x+4相交于两点.符合题意

  当t=-2时,

  圆心C的坐标为(-2,-1),半径OC=√5

  此时圆心到直线y=-2x+4的距离

  d=|4+1+4|/√5=(9√5)/5>√5

  即,圆C与直线y=-2x+4不相交

  ∴t=-2不合题意,舍去.

  ∴圆C的方程为(x-2)²+(y-1)²=5

2020-02-02 21:40:39

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