四棱锥S-ABCD的所有棱长均为1米,一只小虫从S点出发沿四棱锥的棱爬行,若在每一顶点处选择不同的棱都是等可能的,设小虫爬行7米后恰好回到S点的概率为P,则P等于A.71/243.B.91/243.C.182/729D.196/729
四棱锥S-ABCD的所有棱长均为1米,一只小虫从S点出发沿四棱锥的棱爬行,若在每一顶点处选择不同的棱都是等可能的,设小虫爬行7米后恰好回到S点的概率为P,则P等于A.71/243.B.91/243.C.182/729D.196/729为什么
选D
这可以递推一下.
假设第x步之后小虫的位置是Bx,因为ABCD等价,所以记Bx=1表示小虫在S点,Bx=0表示小虫不在S点.
假设以P(Bx=1)表示第x步之后回到S的概率,P(Bx=0)表示x步后不在S的概率,x>=1.
要求的是P(B7=1)
显然P(Bx=1)+P(Bx=0)=1.
第一步之后小虫肯定不在S点,所以P(B1=1)=0,P(B1=0)=1.
小虫在ABCD任一点时,只有三条路,一条回S,另外两条是去往ABCD中的邻点,所以：
P(B2=1)=1/3,P(B2=0)=2/3.
现在考虑递推式.当第n步在S点时,n+1步肯定不在S点.当第n步不在S点时,n+1步有1/3在S点,2/3概率不在S点,即：
P(Bn+1=1)=P(Bn=0)*1/3
即
P(Bn+1=1)=[1-P(Bn=1)]*1/3
7步不多,可以直接递推：
nP(Bn=1)的值
10
21/3
32/9
47/27
520/81
661/243
7182/729
所以结果是184/729.
如果进一步要计算任意n步之后在S点的概率,可令An=P(Bn=1),那么上面的式子写为：
A{n+1}=(1-A{n})/3
这是一个不复杂的递推式,高中学过解法,化为：
A{n+1}-(1/4)=(-1/3)[A{n}-(1/4)]
即An-(1/4)是一个公比为-1/3的等比数列,首项是A1-(1/4)=P(B1=1)-1/4=-1/4.
得An=(-1/4)*[(-1/3)^(n-1)]+1/4
即第n步恰好回到S点的概率为(-1/4)*[(-1/3)^(n-1)]+1/4,将n=7带入得结果为182/729.