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  【∑[k=0,∞]C(k,N)C(n-k,M-N)=C(n,M)∑[k=0,n](1-p)^k=1/(1-(1-p))∑[k=0,n]C(k,N)C(n-k,M-N)/C(n,M)=1求教这些都是怎么推导出来的?】

  ∑[k=0,∞]C(k,N)C(n-k,M-N)=C(n,M)

  ∑[k=0,n](1-p)^k=1/(1-(1-p))

  ∑[k=0,n]C(k,N)C(n-k,M-N)/C(n,M)=1

  求教这些都是怎么推导出来的?

3回答
2020-02-02 18:59
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马海龙

  第一题实质上就是第三题.它的实质推导很复杂,但你可以通过一个数学模型去理解它.

  假设有M个零件,里面有N个次品.从这M个零件随机抽取n个零件,里面有k个次品的情况数就是

  题目中的C(k,N)C(n-k,M-N),

  令随机变量X为一次实验获得的次品数,而一次实验获得k个次品的概率就是P(X=k)=C(k,N)C(n-k,M-N)/C(n,M),统计学上称X的分布为超几何分布.根据X的所有情况的概率相加要=1的要求,就有∑[k=0,n]P(X=k)=1=∑[k=0,n]C(k,N)C(n-k,M-N)/C(n,M)

  第二问可以用高中的等比数列前n项和的公式算得,而那个公式的推导用了错位相减法.

  而你给的答案好像是无穷项等比数列的结果,要在原来的前n项和公式上令n趋向正无穷

  ∑[k=0,∞](1-p)^k=首项/(1-公比)=1/(1-(1-p))=1/p

2020-02-02 19:04:00
路世忠

  我知道这分布,但是书上让读者自己证明这个,所以才来问问推导过程

2020-02-02 19:06:33
马海龙

  超几何分布概率推导过程:也是从二项式定理出发,只是变了一下形式首先,有(1+x)^N*(1+x)^(M-N)=(1+x)^M对两边的式子分别展开,则都是同一个关于x的M次多项式,由多项式相等等价于对应次数项的系数相等,再比较左右两边x^n的系数可得:左边的x^n相的系数=∑[k=0,n]C(k,N)C(n-k,M-N)=右边的x^n的系数=C(n,M)

2020-02-02 19:09:51

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