正弦、余弦的和差化积公式

　　指高中数学三角函数部分的一组恒等式

　　sinα+sinβ=2sin[(α+β)/2]·cos[(α-β)/2]

　　sinα-sinβ=2cos[(α+β)/2]·sin[(α-β)/2]

　　cosα+cosβ=2cos[(α+β)/2]·cos[(α-β)/2]

　　cosα-cosβ=-2sin[(α+β)/2]·sin[(α-β)/2]【注意右式前的负号】　

　　　以上四组公式可以由积化和差公式推导得到

　　法1　sinα+sinβ=2sin[(α+β)/2]·cos[(α-β)/2]的证明过程

　　因为

　　sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ,

　　sin(α-β)=sinαcosβ-cosαsinβ,

　　将以上两式的左右两边分别相加,得

　　sin(α+β)+sin(α-β)=2sinαcosβ,

　　设α+β=θ,α-β=φ

　　那么

　　α=(θ+φ)/2,β=（θ-φ）/2

　　把α,β的值代入,即得

　　sinθ+sinφ=2sin[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ）/2]

　　法2

　　根据欧拉公式,e^Ix=cosx+isinx

　　令x=a+b

　　得e^I（a+b）=e^ia*e^ib=(cosa+isina)(cosb+isinb)=cosacosb-sinasinb+i(sinacosb=sinbcosa)=cos（a+b）+isin（a+b）

　　所以cos(a+b)=cosacosb-sinasinb

　　sin(a+b)=sinacosb=sinbcosa

　　正切的和差化积

　　tanα±tanβ=sin(α±β)/(cosα·cosβ)（附证明）

　　cotα±cotβ=sin(β±α)/(sinα·sinβ)

　　tanα+cotβ=cos(α-β)/(cosα·sinβ)

　　tanα-cotβ=-cos(α+β)/(cosα·sinβ)

　　证明：左边=tanα±tanβ=sinα/cosα±sinβ/cosβ

　　=(sinα·cosβ±cosα·sinβ)/(cosα·cosβ)

　　=sin(α±β)/(cosα·cosβ)=右边

　　∴等式成立

　　注意事项

　　在应用和差化积时,必须是一次同名三角函数方可实行.若是异名,必须用诱导公式化为同名；若是高次函数,必须用降幂公式降为一次

　　口诀

　　正加正,正在前,余加余,余并肩

　　正减正,余在前,余减余,负正弦

　　反之亦然生动的口诀：（和差化积）

　　帅+帅=帅哥

　　帅-帅=哥帅

　　哥+哥=哥哥

　　哥-哥=负嫂嫂

　　反之亦然