容斥原理

　　1．关键提示：

　　容斥原理关键内容就是两个公式,考生只要把这两个公式灵活掌握就可全面应对此类题型.另外在练习及真考的过程中,请借助图例将更有助于解题.

　　2．核心公式：

　　（1）两个集合的容斥关系公式：

　　A＋B＝A∪B＋A∩B

　　（2）三个集合的容斥关系公式：

　　A＋B＋C＝A∪B∪C＋A∩B＋B∩C＋C∩A－A∩B∩C

　　例题1：2004年中央A类真题

　　某大学某班学生总数为32人,在第一次考试中有26人及格,在第二次考试中有24人及格,若两次考试中,都没有及格的有4人,那么两次考试都及格的人数是().

　　A．22B．18C．28D．26

　　解析：设A＝第一次考试中及格的人（26）,B＝第二次考试中及格的人（24）

　　显然,A＋B＝26＋24＝50；A∪B＝32－4＝28,

　　则根据公式A∩B＝A＋B－A∪B＝50－28＝22

　　所以,答案为A.

　　例题2：2004年山东真题

　　某单位有青年员工85人,其中68人会骑自行车,62人会游泳,既不会骑车又不会游泳的有12人,则既会骑车又会游泳的有（）人

　　A.57B.73C.130D.69

　　解析：设A＝会骑自行车的人（68）,B＝会游泳的人（62）

　　显然,A＋B＝68＋62＝130；A∪B＝85－12＝73,

　　则根据公式A∩B＝A＋B－A∪B＝130－73＝57

　　所以,答案为A.

　　例题3：电视台向100人调查前一天收看电视的情况,有62人看过2频道,34人看过8频道,11人两个频道都看过.两个频道都没看过的有多少人?

　　解析：设A＝看过2频道的人（62）,B＝看过8频道的人（34）

　　显然,A＋B＝62＋34＝96；A∩B＝两个频道都看过的人（11）

　　则根据公式A∪B＝A＋B－A∩B＝96－11＝85

　　所以,两个频道都没有看过的人数＝100－85＝15

　　所以,答案为15.

　　例题4：2005年中央A类真题

　　对某单位的100名员工进行调查,结果发现他们喜欢看球赛和电影、戏剧.其中58人喜欢看球赛,38人喜欢看戏剧,52人喜欢看电影,既喜欢看球赛又喜欢看戏剧的有18人,既喜欢看电影又喜欢看戏剧的有16人,三种都喜欢看的有12人,则只喜欢看电影的有：

　　A．22人B．28人C．30人D．36人

　　解析：设A＝喜欢看球赛的人（58）,B＝喜欢看戏剧的人（38）,C＝喜欢看电影的人（52）

　　A∩B＝既喜欢看球赛的人又喜欢看戏剧的人（18）

　　B∩C＝既喜欢看电影又喜欢看戏剧的人（16）

　　A∩B∩C＝三种都喜欢看的人（12）

　　A∪B∪C＝看球赛和电影、戏剧至少喜欢一种（100）

　　根据公式：A＋B＋C＝A∪B∪C＋A∩B＋B∩C＋C∩A－A∩B∩C

　　C∩A＝A＋B＋C－（A∪B∪C＋A∩B＋B∩C－A∩B∩C）

　　＝148－（100＋18＋16－12）＝26

　　所以,只喜欢看电影的人＝C－B∩C－C∩A＋A∩B∩C

　　＝52－16－26＋12

　　＝22