第一章概率论的基本概念

　　知识要点

　　一、内容提要

　　（一）加法、乘法原理,排列与组合

　　1.加法原理：设完成一件事有n类方法（只要选择其中一类方法即可完成这件事）,若第一类方法有m1种,第二类方法有m2种,……,第n类方法有mn种,则完成这件事共有N=m1+m2+…+mn

　　2．乘法原理：设完成一件事须有n个步骤（仅当n个步骤都完成,才能完成这件事）,若第一步有m1种,第二类方法有m2种,…,第n步有mn种方法,则完成这件事共有N=m1×m2×…×mn种方法.

　　注意：加法原理与乘法原理的区别：前者完成一步即完成一件事；后者须n步均完成才完成一件事.

　　3．排列从n个不同元素中任取m（m≤n）个按照一定的顺序排成一列,称为从n个不同元素中取出m个元素的一个排列.从n个不同元素取出m个元素的所有排列种数,记为

　　Pmn=n(n-1)…[n-(m-1)]=

　　从n个不同元素中全部取出的排列称为全排列,其排列的种数,记为Pn=n(n-1)…1=n!,规定0!=1.

　　4．允许重复的排列：从n个不同元素中有放回地取m个按照一定顺序排列成一列.其排列的种数为N==nm

　　5．不全相异元素的全排列：若n个元素中,有m类（10.可知P（AB）≠P（A）P（B）,这就是说一般情况下,两个事件互斥并不能得出这两个事件就独立的结论.

　　2．全概率公式

　　如果事件组B1,B2,…,Bn满足

　　（1）B1,B2,…,Bn互斥,且P（Bi）>0(i=1,2,…,n)

　　（2）B1+B2+…+Bn=U

　　则对任一事件A皆有P（A）=P（B1）P（A|B1）+P（B2）P（A|B2）+…+P（Bn）P(A|Bn),满足条件（1）,（2）的事件组B1,B2,…,Bn称为完备事件组,也称某随机试验E的样本空间.

　　用全概率公式求解的概率问题关键在于寻找完备事件组（样本空间）.

　　3．贝叶斯公式

　　设B1,B2,…,Bn为一完备事件组,则对任一事件A（P（A）≠0）有

　　P（Bj|A）=

　　注意：公式右边可这样记忆：分母为全概公式,是n项之和,分子是分母中的某一项.

　　（六）独立试验序列概型

　　定理（贝努里公式）设在单次试验中,事件A发生的概率为p(00的条件下,若A,B互斥,则P(AB)＝P(A)P(B)>0,而若A,B互斥,则P(AB)＝0,两种概念出现矛盾．

　　6．“n个事件相互独立”与“n个事件两两独立”是否一回事?

　　答不是的．后者只是前者的条件之一,由前者可以推出后者,但反过来不行．

　　7．如何使用全概率公式和贝叶斯公式?

　　答全概率公式是应用广泛的一个公式,它把事件的概率（不太好求）分成几个比较好计算的概率之和,形似繁琐,实则简单．在分析问题过程中,可视为的子事件,或者把看成发生的原因,是结果．而及较易求得的,于是可由”原因”求”结果”．

　　贝叶斯公式有时称为验后概率公式,它实际上是条件概率．是在已知结果发生的情况下,求导致结果的某种原因的可能性大小．比如求,当（常用全概公式计算）,较易求得时,就要用贝叶斯公式,它是由“结果”求“原因”．

　　8．在全概率公式与贝叶斯公式中,是样本空间的一个划分．问中的每一个是否是引起事件发生的“原因”?

　　答不一定,我们仅以全概率公式为例给予说明,从图1-3可见,是的一个划分,事件是伴随事件这几个“原因”（假设）出现的；而和都与不相交,即不能与同时出现,亦即和都是不可能事件,故都等于零．所以全概率公式中的和这两项实际上消失了．我们实际上只把这4个事件当作的“原因”．因此全概率公式中“是的一个划分”这一条件可以降低：“两两互斥事件组能够盖住”．再降低一点：“是的一个划分”,即当且仅当中某一事件出现时才出现．不过为了讨论方便,我们通常还是找出的一个划分,还是把每个都称作“原因”（或假设）,这个没有什么关系．

　　9．后验概率与先验概率有何区别?

　　答贝叶斯公式中,已知事件的概率称为“先验概率”它是试验前根据以往经验确定的一种假设概率．现在进行了一次试验,如果事件确实发生了,则对于事件的概率应予以重新估计,也就是在事件发生之后,再来判断事件发生的概率,称之为“后验概率”．

　　由于后验概率的计算仍以先验概率为基础,所以两者有一定的联系（一般比较接近）．但后验概率是在实验之后事件确已发生的情况下,来分析它各种原因的概率,因而一般来讲,有利于发生的那些原因的概率就会增大,而不利于发生的那些原因的概率就会减小．

　　10．实际应用中,如何判断两事件的独立性?

　　答实际应用中,对于事件的独立性,我们常常不是用定义来判断,而是由试验方式来判断试验的独立性,由试验的独立性来判断事件的独立性．或者说根据问题的实质,直观上看一事件的发生是否影响另一事件的概率来判断．例如,在放回摸球（袋中有白球和黑球）试验中,表示“第一次摸得白球”,表示“第二次摸得白球”．由于只与第一次试验有关,只与第二次试验有关,可知与独立．而在不放回摸球试验中,它们却不独立．又如甲、乙两名射手在相同条件下进行射击,则“甲击中目标”与“乙击中目标”两事件是独立的．

　　如果对实际问题中的事件还难以判断它们是否独立,则需要利用统计资料进行分析,再来判断是否符合事件独立性的条件．

　　11．什么是实际推断原理?它有什么作用?为什么说在大量的独立重复试验中,小概率事件迟早会发生?

　　答概率很小的事件称小概率事件．在实践中,人们总结得到“概率很小的事件在一次试验中实际上是不会发生的”这一经验,并称之为“实际推断原理”．根据实际推断原理,如果小概率事件在一次实验中竟然发生了,我们就有理由怀疑该事件是小概率事件的正确性．

　　设事件的概率为（小概率,）,在独立重复试验中,为第k次试验中发生,则．在前次试验中,至少发生一次的概率为：

　　当时．这就说明,随着试验次数的增多,小概率事件迟早会发生的概率为1.

　　——TOP3——

　　典型例题分析

　　例1.1在1,2,…,9这9个数字中,有放回地随机抽出n个数,求这n个数乘积能被10除尽的概率.

　　从1,2,…,9中有放回地随机抽出n个数,共有9n种抽法,其中不含5的抽法有8n种,不含偶数的抽法有5n种,不含5和偶数的抽法有4n种.所以不含5或偶数的抽法有8n+5n-4n种,从而得知含5和偶数的抽法有9n-8n-5n+4n种.易知这些抽法就是使A={抽出n个数的乘积能被10除尽}发生的全部样本点,故