向量部分

　　1.平面向量知识结构表

　　2.向量的概念

　　（1）向量的基本概念

　　①定义既有大小又有方向的量叫做向量.向量的大小也就是向量的长度,叫做向量的模.

　　②特定大小或特定关系的向量

　　零向量,单位向量,共线向量（平行向量）,相等向量,相反向量.

　　③表示法：几何法：画有向线段表示,记为或α.

　　④在坐标系下,平面上任何一点都可用一对实数(坐标)来表示取x轴、y轴上两个单位向量,作基底,则平面内作一向量=x+y,记作：=(x,y)称作向量的坐标.

　　=(x2-x1,y2-y1),其中A(x1,y1),B(x2,y2)

　　（2）向量的运算

　　①向量的加法与减法：定义与法则（如图5-1）：

　　a+b=(x1+x2,y1+y2),a-b=(x1-x2,y1-y2).其中a=(x1,y1),b=(x2,y2).

　　运算律：a+b=b+a,(a+b)+c=a+(b+c),a+0=0+a=a.

　　②向量的数乘（实数与向量的积）定义与法则（如图5-2）：

　　λa=λ(x,y)=(λx,λy)

　　(1)︱︱=︱︱︱;

　　(2)当＞0时,与的方向相同；当＜0时,与的方向相反；

　　当=0时,=0．

　　(3)若=（）,则=（）．

　　运算律

　　λ（μa）=(λμ)a,(λ+μ)a=λa+μa,λ(a+b)=λa+λb.

　　3.平面向量的数量积定义与法则（如图5-3）：

　　（1）．向量的夹角：已知两个非零向量与b,作=,=,则∠AOB=（）叫做向量与的夹角.

　　（2）．两个向量的数量积：

　　已知两个非零向量与,它们的夹角为,则

　　=︱︱︱cos．

　　其中︱︱cos称为向量在方向上的投影．

　　（3）．向量的数量积的性质：=,(λ=(λ)=λ（）,（+=+.若=（）,=（）则=

　　ⅰ）⊥=0（,为非零向量）;

　　ⅱ）向量与夹角为锐角

　　ⅲ）向量与夹角为钝角

　　4.定理与公式

　　①x05共线定理：向量b与非零向量a共线的充要条件是有且只有一个实数λ,使得b=λa

　　结论：∥()的充要条件是x1y2-x2y1=0

　　注意：消去λ时不能两式相除,∵y1,y2有可能为0,∵∴x2,y2中至少有一个不为0

　　充要条件不能写成∵x1,x2有可能为0

　　向量共线的充要条件有两种形式：∥()

　　②平面向量基本定量：如果,是同一平面内的两个不共线向量,那么对于这一平面内的任一向量,有且只有一对实数λ1,λ2使=λ1+λ2

　　③两向量垂直的充要条件

　　(i)⊥=0(ii)⊥x1?x2+y1?y2=0（=(x1,y1),=(x2,y2)）

　　④三点共线定理：平面上三点A、B、C共线的充要条件是：存在实数α、β,使=α+β,其中α+β=1,O为平面内的任一点.

　　⑤数值计算公式

　　两点间的距离公式：||=,其中[P1(x1,y1),P2(x2,y2)]

　　P分有向线段所成的比：

　　设P1、P2是直线上两个点,点P是上不同于P1、P2的任意一点,则存在一个实数使=,叫做点P分有向线段所成的比.

　　当点P在线段上时,＞0；当点P在线段或的延长线上时,＜0；

　　分点坐标公式：若=；的坐标分别为（）,（）,（）；则：中点坐标公式：

　　两向量的夹角公式：cosθ==

　　0≤θ≤180°,a=(x1,y1),b=(x2,y2)

　　⑥图形变换公式平移公式：若点P0(x,y)按向量a=(h,k)平移至P(x′,y′),

　　则

　　⑦有关结论

　　(i)平面内有任意三个点O,A,B.若M是线段AB的中点,则(+);

　　一般地,若P是分线段AB成定比λ的分点（即=λ,λ≠-1）则=+,此即线段定比分点的向量式

　　(ii)有限个向量,a1,a2,…,an,相加,可以从点O出发,逐一作向量=a1,=a2,…,=an,则向量即这些向量的和,即

　　a1+a2+…+an=++…+=（向量加法的多边形法则）.

　　当An和O重合时（即上述折线OA1A2…An成封闭折线时）,则和向量为零向量.

　　注意：反用以上向量的和式,即把一个向量表示为若干个向量和的形式,是解决向量问题的重要手段.

　　3.向量的应用

　　（1）向量在几何中的应用（2）向量在物理中的应用