数学高考基础知识、常见结论详解

　　一、集合与简易逻辑：

　　一、理解集合中的有关概念

　　（1）集合中元素的特征：确定性,互异性,无序性.

　　集合元素的互异性：如：,,求；

　　（2）集合与元素的关系用符号,表示.

　　（3）常用数集的符号表示：自然数集；正整数集、；整数集；有理数集、实数集.

　　（4）集合的表示法：列举法,描述法,韦恩图.

　　注意：区分集合中元素的形式：如：；；；；；

　　；

　　（5）空集是指不含任何元素的集合.（、和的区别；0与三者间的关系）

　　空集是任何集合的子集,是任何非空集合的真子集.

　　注意：条件为,在讨论的时候不要遗忘了的情况.

　　如：,如果,求的取值.

　　二、集合间的关系及其运算

　　（1）符号“”是表示元素与集合之间关系的,立体几何中的体现点与直线（面）的关系；

　　符号“”是表示集合与集合之间关系的,立体几何中的体现面与直线(面)的关系.

　　（2）；；

　　（3）对于任意集合,则：

　　①；；；

　　②；；

　　；；

　　③；；

　　（4）①若为偶数,则；若为奇数,则；

　　②若被3除余0,则；若被3除余1,则；若被3除余2,则；

　　三、集合中元素的个数的计算：

　　（1）若集合中有个元素,则集合的所有不同的子集个数为_________,所有真子集的个数是__________,所有非空真子集的个数是.

　　（2）中元素的个数的计算公式为：；

　　（3）韦恩图的运用：

　　四、满足条件,满足条件,

　　若；则是的充分非必要条件；

　　若；则是的必要非充分条件；

　　若；则是的充要条件；

　　若；则是的既非充分又非必要条件；

　　五、原命题与逆否命题,否命题与逆命题具有相同的；

　　注意：“若,则”在解题中的运用,

　　如：“”是“”的条件.

　　六、反证法：当证明“若,则”感到困难时,改证它的等价命题“若则”成立,

　　步骤：1、假设结论反面成立；2、从这个假设出发,推理论证,得出矛盾；3、由矛盾判断假设不成立,从而肯定结论正确.

　　矛盾的来源：1、与原命题的条件矛盾；2、导出与假设相矛盾的命题；3、导出一个恒假命题.

　　适用与待证命题的结论涉及“不可能”、“不是”、“至少”、“至多”、“唯一”等字眼时.

　　正面词语等于大于小于是都是至多有一个

　　否定

　　正面词语至少有一个任意的所有的至多有n个任意两个

　　否定

　　二、函数

　　一、映射与函数：

　　（1）映射的概念：（2）一一映射：（3）函数的概念：

　　如：若,；问：到的映射有个,到的映射有个；到的函数有个,若,则到的一一映射有个.

　　函数的图象与直线交点的个数为个.

　　二、函数的三要素：,,.

　　相同函数的判断方法：①；②(两点必须同时具备)

　　（1）函数解析式的求法：

　　①定义法（拼凑）：②换元法：③待定系数法：④赋值法：

　　（2）函数定义域的求法：

　　①,则；②则；

　　③,则；④如：,则；

　　⑤含参问题的定义域要分类讨论；

　　如：已知函数的定义域是,求的定义域.

　　⑥对于实际问题,在求出函数解析式后；必须求出其定义域,此时的定义域要根据实际意义来确定.如：已知扇形的周长为20,半径为,扇形面积为,则；定义域为.

　　（3）函数值域的求法：

　　①配方法：转化为二次函数,利用二次函数的特征来求值；常转化为型如：的形式；

　　②逆求法（反求法）：通过反解,用来表示,再由的取值范围,通过解不等式,得出的取值范围；常用来解,型如：；

　　④换元法：通过变量代换转化为能求值域的函数,化归思想；

　　⑤三角有界法：转化为只含正弦、余弦的函数,运用三角函数有界性来求值域；

　　⑥基本不等式法：转化成型如：,利用平均值不等式公式来求值域；

　　⑦单调性法：函数为单调函数,可根据函数的单调性求值域.

　　⑧数形结合：根据函数的几何图形,利用数型结合的方法来求值域.

　　求下列函数的值域：①（2种方法）；

　　②（2种方法）；③（2种方法）；

　　三、函数的性质：

　　函数的单调性、奇偶性、周期性

　　单调性：定义：注意定义是相对与某个具体的区间而言.

　　判定方法有：定义法（作差比较和作商比较）

　　导数法（适用于多项式函数）

　　复合函数法和图像法.

　　应用：比较大小,证明不等式,解不等式.

　　奇偶性：定义：注意区间是否关于原点对称,比较f(x)与f(-x)的关系.f(x)－f(-x)=0f(x)=f(-x)f(x)为偶函数；

　　f(x)+f(-x)=0f(x)=－f(-x)f(x)为奇函数.

　　判别方法：定义法,图像法,复合函数法

　　应用：把函数值进行转化求解.

　　周期性：定义：若函数f(x)对定义域内的任意x满足：f(x+T)=f(x),则T为函数f(x)的周期.

　　其他：若函数f(x)对定义域内的任意x满足：f(x+a)=f(x－a),则2a为函数f(x)的周期.

　　应用：求函数值和某个区间上的函数解析式.

　　四、图形变换：函数图像变换：（重点）要求掌握常见基本函数的图像,掌握函数图像变换的一般规律.

　　常见图像变化规律：（注意平移变化能够用向量的语言解释,和按向量平移联系起来思考）

　　平移变换y=f(x)→y=f(x+a),y=f(x)+b

　　注意：（ⅰ）有系数,要先提取系数.如：把函数y＝f(2x)经过平移得到函数y＝f(2x＋4)的图象.

　　（ⅱ）会结合向量的平移,理解按照向量（m,n）平移的意义.

　　对称变换y=f(x)→y=f(－x),关于y轴对称

　　y=f(x)→y=－f(x),关于x轴对称

　　y=f(x)→y=f|x|,把x轴上方的图象保留,x