下面字母都是表示向量,本题关键是证明|a×b|=|x1·y2-x2·y1|

　　由S=0.5|a×b|=0.5|a|b|sinθ,得sinθ=|a×b|/(|a||b|),而cosθ=a·b/(|a||b|),所以由

　　sin²θ+cos²θ=1,得|a×b|²+(a·b)²=|a|²·|b|²,所以|a×b|²=|a|²·|b|²-(a·b)²,代入坐标运算,得

　　|a×b|²=(x1²+y1²)·(x2²+y2²)-(x1·x2+y1·y2)²=x1²·y2²-2x1·x2·y1·y2+x2²·y1²=(x1·y2-x2·y1)²

　　所以有|a×b|=|x1·y2-x2·y1|