如果a≠0,那么向量b与a共线的充要条件是：存在唯一实数λ,使得b=λa.证明：1）充分性,对于向量a(a≠0)、b,如果有一个实数λ,使b=λa,那么由实数与向量的积的定义知,向量a与b共线.2）必要性,已知向量a与b共线,a≠0,且向量b的长度是向量a的长度的m倍,即∣b∣=m∣a∣.那么当向量a与b同方向时,令λ=m,有b=λa,当向量a与b反方向时,令λ=-m,有b=-λa.如果b=0,那么λ=0.3）唯一性,如果b=λa=μa,那么(λ-μ)a=0.但因a≠0,所以λ=μ.证毕.[编辑本段]推论推论1两个向量a、b共线的充要条件是：存在不全为零的实数λ、μ,使得λa+μb=0.证明：1）充分性,不妨设μ≠0,则由λa+μb=0得b=(λ/μ)a.由共线向量基本定理知,向量a与b共线.2）必要性,已知向量a与b共线,若a≠0,则由共线向量基本定理知,b=λa,所以λa-b=0,取μ=-1≠0,故有λa+μb=0,实数λ、μ不全为零.若a=0,则取μ=0,取λ为任意一个不为零的实数,即有λa+μb=0.证毕.推论2两个非零向量a、b共线的充要条件是：存在全不为零的实数λ、μ,使得λa+μb=0.证明：1）充分性,∵μ≠0,∴由λa+μb=0可得b=(λ/μ)a.由共线向量基本定理知,向量a与b共线.2）必要性,∵向量a与b共线,且a≠0,则由共线向量基本定理知,b=λa；又∵b≠0,∴λ≠0；取μ=-1≠0,就有λa+μb=0,实数λ、μ全不为零.证毕.推论3如果a、b是两个不共线的向量,且存在一对实数λ、μ,使得λa+μb=0,那么λ=μ=0.证明：（反证法）不妨假设μ≠0,则由推论1知,向量a、b共线；这与已知向量a、b不共线矛盾,故假设是错的,所以λ=μ=0.证毕.推论4如果三点P、A、B不共线,那么点C在直线AB上的充要条件是：存在唯一实数λ,使得向量PC=(1-λ)向量PA+λ向量PB.（其中,向量AC=λ向量AB）.证明：∵三点P、A、B不共线,∴向量AB≠0,由共线向量基本定理得,点C在直线AB上向量AC与向量AB共线存在唯一实数λ,使向量AC=λ·向量AB∵三点P、A、B不共线,∴向量PA与向量PB不共线,∴向量AC=λ·向量AB向量PC-向量PA=λ·(向量PB-向量PA)向量PC=(1-λ)向量PA+λ·向量PB.证毕.推论5如果三点P、A、B不共线,那么点C在直线AB上的充要条件是：存在唯一一对实数λ、μ,使得向量PC=λ向量PA+μ向量PB.（其中,λ+μ=1）证明：在推论4中,令1-λ=μ,则λ+μ=1,知：三点P、A、B不共线点C在直线AB上的充要条件是：存在实数λ、μ,使得向量PC=λ向量PA+μ向量PB.（其中,λ+μ=1）下面证唯一性,若向量PC=m向量PA+n向量PB,则m向量PA+n向量PB=λ向量PA+μ向量PB,即,（m-λ）向量PA+（n-μ）向量PB=0,∵三点P、A、B不共线,∴向量PA与向量PB不共线,由推论3知,m=λ,n=μ.证毕.推论6如果三点P、A、B不共线,那么点C在直线AB上的充要条件是：存在不全为零的实数λ、μ、ν,使得λ向量PA+μ向量PB+ν向量PC=0,λ+μ+ν=0.证明：1）充分性,由推论5知,若三点P、A、B不共线,则点C在直线AB上存在实数λ、μ,使得向量PC=λ向量PA+μ向量PB（其中,λ+μ=1）.取ν=-1,则有：λ向量PA+μ向量PB+ν向量PC=0,λ+μ+ν=0,且实数λ、μ、ν不全为零.2）必要性,不妨设ν≠0,且有：λ向量PA+μ向量PB+ν向量PC=0,λ+μ+ν=0,则向量PC=（λ/ν)·向量PA+(μ/ν)·向量PB,（-λ/ν）+（-μ/ν）=1.由推论5即知,点C在直线AB上.证毕.推论7点P是直线AB外任意一点,那么三不同点A、B、C共线的充要条件是：存在全不为零的实数λ、μ、ν,使得λ向量PA+μ向量PB+ν向量PC=0,λ+μ+ν=0.证明：（反证法）∵点P是直线AB外任意一点,∴向量PA≠0,向量PB≠0,向量PC≠0,且向量PA、向量PB、向量PC两两不共线.由推论6知,实数λ、μ、ν不全为零,1）假设实数λ、μ、ν中有两个为零,不妨设λ≠0,μ=0,ν=0.则λ向量PA=0,∴向量PA=0.这与向量PA≠0.2）假设实数λ、μ、ν中有一个为零,不妨设λ≠0,μ≠0,ν=0.则λ向量PA+μ向量PB=0,∴向量PA=（μ/λ）·向量PB,∴向量PA与向量PB共线,这与向量PA与向量PB不共线矛盾.证毕.[编辑本段]共线向量定理定理1⊿ABC中,点D在直线BC上的充要条件是其中都是其对应向量的数量.证明：有推论5即可证得.定理2⊿ABC中,点D在直线BC上的充要条件是其中都是有向面积.通常约定,顶点按逆时针方向排列的三角形面积为正,顶点按顺时针方向排列的三角形面积为负.证明：由定理1即可得证.