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  【一道高中数学公式证明题若已知点M(x0,y0)在圆(x-a)^2+(y-b)^2=r^2外,则弦AB的方程也为(x-a)(x0-a)+(y-b)(y0-b)=r^2这一个怎么证明呢?】

  一道高中数学公式证明题

  若已知点M(x0,y0)在圆(x-a)^2+(y-b)^2=r^2外,

  则弦AB的方程也为

  (x-a)(x0-a)+(y-b)(y0-b)=r^2

  这一个怎么证明呢?

1回答
2020-02-04 22:32
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白瑞林

  你问的我来解答.

  首先,题目少了条件:过M引圆(x-a)^2+(y-b)^2=r^2的切线分别交圆于A,B两点.

  证明:设A(x1,y1),B(x2,y2).不知道阁下是否知道已知圆上一点引出的切线方程.是这样,A在(x-a)^2+(y-b)^2=r^2上,所以切线方程为(x-a)(x1-a)+(y-b)(y1-b)=r^2,同理在B点的切线方程是(x-a)(x2-a)+(y-b)(y2-b)=r^2.

  M点是关键点,它是两条切线的交点,所以M在两条线上,得到:

  (x0-a)(x1-a)+(y0-b)(y1-b)=r^2

  (x0-a)(x2-a)+(y0-b)(y2-b)=r^2

  题目要求直线AB的方程,这两个方程恰好能够求出该方程.这两个式子可以看作A(x1,y1),B(x2,y2)在(x-a)(x0-a)+(y-b)(y0-b)=r^2上.

  综上,AB的方程为:

  (x-a)(x0-a)+(y-b)(y0-b)=r^2

  对于圆的切线方程,我能解释,但涉及导数、微积分,就不阐述了.也可以用联立方程,令Δ=0求得方程.

2020-02-04 22:34:51

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