从n个元素中有重复地取r个,不计其顺序,则不同的取法有C(r,n+r-1)种

　　很多教材都仅仅给出了公式,但是没有给出这个公式的证明,这里就给出一种证明,由于本人的语言表述能力欠佳,因此在阐述时显得十分罗嗦,希望大家能提出意见.

　　事实上,若将n个元素看做n个盒子,r看作r个同质的球,则相当于:

　　把r个同样的球放入n个顺次排列的盒子,求不计放球顺序的放法种数

　　把0看作是盒子,1看做是球;

　　由于球必须放在盒子中,规定某个0位之前,到上一个0位为止的1的个数,表示该盒子中装的球数:

　　则有重复排列数要求,

　　在n个0中放入r个1

　　这样,就相当于(n-1)个0和r个1的排列数,即(n+r-1)!/n!*(r-1)!

　　比如:

　　1110100011111110(1110|10|0|0|11111110)是n=5,r=11的一种具体情形

　　表示第一个盒子装3个球,因为第一个0前有3个1

　　第二个盒子装1个球,因为第二个0到第一个0间有1个1

　　第三个盒子装0个球,因为第三个0到第二个0间有0个1

　　第四个盒子装0个球,因为第四个0到第三个0间有0个1

　　第五个盒子装7个球,因为第屋个0到第五个0间有7个1

　　详细一点的解释是:

　　若规定这样的字段:

　　1.每个字段可能含有若干个1

　　2.0代表字段的结束

　　3.若一个字段只含0不含1,称之为空字段.

　　其中,设:

　　r为1的个数

　　n为0的个数,也就是字段的数量(因为0是结束字符,有多少的结束字符就有多少个字段)

　　则

　　字符串1100100表示110|0|10|0,其中r=3,n=4

　　字符串0101010表示0|10|10|10,同样有r=3,n=4

　　又如0011010100表示0|0|110|10|10|0,其中r=4,n=6

　　若规定110|0|10|0表示:

　　第一个元素取2次,第二个元素取0次,第三个元素取1次,第四个元素取0次

　　则同样0|10|10|10表示:

　　第一个元素取0次,第二个元素取1次,第三个元素取1次,第四个元素取1次

　　又如?0|0|110|10|10|0表示:

　　第一个元素取0次,第二个元素取0次,第三个元素取2次,第4个元素取1次,表示第五个元素取1次,第六个元素取1次

　　则要在n个元素中有重复地取出r个,即是求按上述规则组成的字段,能排列成多少中不同的字符串.由于字符串的结尾总是0,故相当于(n-1)个0和r个1的组合,即(n+r-1)!/n!*(r-1)!

　　实际上,这也相当于求方程X1+X2+...+Xn=r的自然数解的个数.