向量外积

　　把向量外积定义为：

　　|a×b|=|a|?|b|?Sin.

　　方向根据右手法则确定,就是手掌立在a、b所在平面的向量a上,掌心向b,那么大拇指方向就是垂直于该平面的方向,被规定为外积的方向.

　　向量外积的代数运算形式为：

　　|e(i)e(j)e(k)|

　　a×b=|x(a)y(a)z(a)|

　　|x(b)y(b)z(b)|

　　这个行列式,按照第一行展开.e表示标准单位基.

　　分配律的几何证明方法很繁琐,大意是用作图的方法验证.有兴趣的话请自己参阅参考文献中的证明.

　　下面给出代数方法.我们假定已经知道了：

　　1）外积的反对称性：

　　a×b=-b×a.

　　这由外积的定义是显然的.

　　2）内积（即数积、点积）的分配律：

　　(b+c)=b+c,

　　(a+b)?c=c+c.

　　这由内积的定义a?b=|a|?|b|?Cos,用投影的方法不难得到证明.

　　3）混合积的性质：

　　定义(a×b)?c为向量a,b,c的混合积,容易证明：

　　i)(a×b)?c的绝对值正是以a,b,c为三条邻棱的平行六面体的体积,其正负号由a,b,c的定向决定（右手系为正,左手系为负）.

　　从而就推出：

　　ii)(a×b)?c=(b×c)

　　所以我们可以记a,b,c的混合积为(a,b,c)

　　由i)还可以推出：

　　iii)(a,b,c)=(b,c,a)=(c,a,b)

　　我们还有下面的一条显然的结论：

　　iv)若一个向量a同时垂直于三个不共面矢a1,a2,a3,则a必为零向量.

　　下面我们就用上面的1）2）3）来证明外积的分配律.

　　设r为空间任意向量,在r?[a×(b+c)]里,交替两次利用3)的ii)、iii)和数积分配律2),就有

　　[a×(b+c)]

　　=(r×a)?(b+c)

　　=(r×a)?b+(r×a)?c

　　=(a×b)+(a×c)

　　=(a×b+a×c)

　　移项,再利用数积分配律,得

　　[a×(b+c)-(a×b+a×c)]=0

　　这说明向量a×(b+c)-(a×b+a×c)垂直于任意一个向量.按3)的iv),这个向量必为零向量,即

　　a×(b+c)-(a×b+a×c)=0

　　所以有

　　a×(b+c)=a×b+a×c.

　　证毕.