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  已知抛物线、椭圆和双曲线都经过点M(1,2),它们在X轴上有共同焦点,椭圆和双曲线的已知抛物线、椭圆和双曲线都经过点M(1,2),它们在X轴上有共同焦点,椭圆和双曲线的对称轴是坐标轴,抛物

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  已知抛物线、椭圆和双曲线都经过点M(1,2),它们在X轴上有共同焦点,椭圆和双曲线的对称轴是坐标轴,抛物线的顶点为坐标此原点.求:(1)求这三条曲线的方程(2)已知动直线L过点P(3,0),交抛物线于A,B两点,是否存在垂直于X轴的直线N被以AP为直径的圆截得的弦长为定值若存在,求出N的方程;若不存在,说明理由

1回答
2020-02-06 21:50
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孙希延

  (1)设椭圆为x²/a²+y²/b²=1(a>b>0),双曲线为x²/m²-y²/n²=1(m>0,n>0),抛物线为y²=2px

  将点M(1,2)代入抛物线方程得到p=2

  于是抛物线为y²=4x,焦点为F1(1,0)

  则椭圆和双曲线的焦点为F1(1,0)、F2(-1,0),所以

  a²-b²=1…………①

  m²+n²=1…………②

  将点M(1,2)代入椭圆方程得1²/a²+2²/b²=1,整理得

  1/a²+4/b²=1…………③

  将点M(1,2)代入双曲线方程得1²/m²-2²/n²=1,整理得

  1/m²-4/n²=1…………④

  ①②③④联立解得

  a²=3+2√2,b²=2+2√2,m²=3-2√2,n²=2√2-2

  所以

  椭圆方程为x²/(3+2√2)+y²/(2+2√2)=1

  双曲线方程为x²/(3-2√2)-y²/(2√2-2)=1

  抛物线方程为y²=4x

  (2)楼主的题目一定有误,直径应为AB而不是AP,否则题目没法做.

  假设存在直线N:x=xo,因为直线AB过点P(3,0),所以可设AB的直线方程为x=uy+3

  再设A(x1,y1)、B(x2,y2),将直线AB与抛物线y²=4x联立消x得

  y²-4uy-12=0

  由韦达定理有

  y1+y2=4u

  y1y2=-12

  则(2*半径)²=(x1-x2)²+(y1-y2)²

  弦心距=|(x1+x2)/2-xo|

  在由圆心、弦中点、弦的某一端点,三点组成的直角三角形中,由勾股定理有

  (弦长/2)²=半径²-弦心距²,代入数值得

  弦长²=(x1-x2)²+(y1-y2)²-4*[(x1+x2)/2-xo]²

  =[(uy1+3)-(uy2+3)]²+(y1-y2)²-4*[(uy1+3+uy2+3)/2-xo]²

  =[u(y1-y2)]²+(y1-y2)²-4*[(uy1+uy2+6)/2-xo]²

  =(u²+1)(y1-y2)²-[u(y1+y2)+6-2xo]²

  =(u²+1)[(y1+y2)²-4y1y2]-[u(y1+y2)+6-2xo]²

  =(u²+1)[(4u)²-4*(-12)]-[u(4u)+6-2xo]²

  =(u²+1)(16u²+48)-(4u²+6-2xo)²

  =16(1+xo)u²-4xo²+24xo+12

  要使弦长为定值,就是使弦长与u无关,所以u的系数16(1+xo)为0

  令16(1+xo)=0,得xo=-1

  所以存在直线N:x=-1,满足题设的条件.

2020-02-06 21:53:29

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