（2009•长宁区二模）设x轴、y轴正方向上的单位向量分别是-查字典问答网

来自彭晓辉的问题

　　（2009•长宁区二模）设x轴、y轴正方向上的单位向量分别是i、j，坐标平面上点列An、Bn（n∈N*）分别满足下列两个条件：①OA1＝j且AnAn+1＝i+j；②OB1＝3i且BnBn+1＝(23)n×3i．（1）求OA2及OA3的坐标

　　（2009•长宁区二模）设x轴、y轴正方向上的单位向量分别是i、j，坐标平面上点列An、Bn（n∈N*）分别满足下列两个条件：①OA1＝j且AnAn+1＝i+j；②OB1＝3i且BnBn+1＝(j0)n×3i．

　　（1）求j2及j3的坐标，并证明点An在直线y=x+1上；

　　（2）若四边形AnBnBn+1An+1的面积是an，求an（n∈N*）的表达式；

　　（3）对于（2）中的an，是否存在最小的自然数M，对一切n∈N*都有an＜M成立？若存在，求M；若不存在，说明理由．

1回答

2020-02-06 13:31

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刘利华

　　（1）OA2＝OA1+A1A2＝j+(i+j)＝i+2j＝(1，2)，

　　OA2+A2A3＝i+2j+(i+j)＝2i+3j＝(2，3)

　　OA16＝OA17+OA18+…+OA19

　　=j+(n−1)(i+ j) ＝(n−1)i+nj=（n-1，n）

　　所以An（n-1，n），它满足直线方程y=x+1，因此点An在直线y=x+1上．

　　（2）A1A25＝A1A26+A1A27+…+A1A28

　　=3i+j0×3i+ (j0) 2×3i+…+(j0) n−1×3i

　　=1−(j0) n1−j0×3i＝(9−9×(j0) n，0)．

　　设直线y=x+1交x轴于P（-1，0），

　　则an＝S △PA n+1B n+1−S △PA nB n

　　=i0[10-9×(j0) n+1]×（n+1）-i0[10-9×(j0) n]×n

　　=5+（n-2）×(j0) n−1

　　（3）an−an+1＝[5+(n−2)×(j0)n−1]−[5+(n−1)(j0)n]=(j0)n−1[(n−2)−(n−1)×(j0)]＝n−43

2020-02-06 13:34:15