(1)设P(x,y),根据点到直线的距离公式和两点间的距离公式,建立关于x、y的方程并化简整理,即可得到曲线C1的方程.分别取x=0和y=0解出曲线C1在轴上的截距,即可曲线C1与坐标轴的各交点的坐标.再由曲线是以F(,)为焦点,直线l1:x+y+=0为准线的抛物线,将其顺时针方向旋转45°得到的抛物线焦点为(1,0),准线为x=-1,可得曲线C2的方程是y2=4x;
(2)设A(x1,y1)、B(x2,y2),直线l2的方程为y=k(x-m),与抛物线y2=4x消去x,得y2-y-4m=0,可得y1y2=-4m.设N(-m,0),由=λ算出λ=,结合向量坐标运算公式得到-λ关于x1、x2、λ和m的坐标式,代入•(-λ)并化简,整理可得•(-λ)=0,从而得到对任意的λ满足=λ,都有⊥(-λ).
解(1)设P(x,y),由题意知曲线C1为抛物线,并且有
=,
化简得抛物线C1的方程为:x2+y2-2xy-4x-4y=0.
令x=0,得y=0或y=4;再令y=0,得x=0或x=4,
所以,曲线C1与坐标轴的交点坐标为(0,0)、(0,4)和(4,0).
点F(,)到l1:x+y+=0的距离为=2,
所以C2是以(1,0)为焦点,以x=-1为准线的抛物线,其方程为:y2=4x.
(2)设A(x1,y1),B(x2,y2),由题意知直线l2的斜率k存在且不为零,
设直线l2的方程为y=k(x-m),代入y2=4x得
y2-y-4m=0,可得y1y2=-4m.
由=λ,得(m-x1,-y1)=λ(x2-m,y2),可得λ=,
而N(-m,0),可得-λ=(x1+m,y1)-λ(x2+m,y2)=(x1-λx2+(1-λ)m,y1-λy2)
∵=(2m,0),
∴•(-λ)=2m[x1-λx2+(1-λ)m]=2m[+-+(1+)m]
=2m(y1+y2)•=2m(y1+y2)•=0
∴对任意的λ满足=λ,都有⊥(-λ).