法向量是空间解析几何的一个概念,垂直于平面的直线所表示的向量为该平面的法向量.由于空间内有无数个直线垂直于已知平面,而且每条直线可以存在不同的法向量；因此一个平面都存在无数个法向量,但是这些法向量之间相互平行.从理论上述,空间零向量是任何平面的法向量,但是由于零向量不能表示平面的信息.一般不选择零向量为平面的法向量.

　　如果已知直线与平面垂直,可以取已知直线的两点构成的向量作为法向量；如果不存在这样的直线,可用设元法求一个平面的法向量；步骤如下：首先设平面的法向量m(x,y,z),然后寻找平面内任意两个不共线的向量AB(x1,y1,z1)和CD(x2,y2,z2).由于平面法向量垂直于平面内所有的向量,因此得到x*x1+y*y1+z*z1=0和x*x2+y*y2+z*z2=0.由于上面解法存在三个未知数两个方程(不能通过增加新的向量和方程求解,因为其它方程和上述两个方程是等价的),无法得到唯一的法向量(因为法向量不是唯一的).为了得到确定法向量,可采用固定z=1(也可以固定x=1或y=1)或者模等于1的方法(单位法向量),但是这步并不是必须的.因为确定法向量和不确定法向量的作用是一样的.

　　法向量的主要应用如下：

　　1、求斜线与平面所成的角：求出平面法向量和斜线的夹角,这个角和斜线与平面所成的角互余.利用这个原理也可以证明线面平行；

　　2、求二面角：求出两个平面的法向量所成的角,这个角与二面角相等或互补；

　　3、点到面的距离：任一斜线(平面为一点与平面内的连线)在法向量方向的射影；如点B到平面α的距离d=|BD·n|/|n|(等式右边全为向量,D为平面内任意一点,向量n为平面α的法向量).利用这个原理也可以求异面直线的距离

　　法向量方法是高考数学可以采用的方法之一,他的优点在于思路简单,容易操作.只要能够建立出直角坐标系,都可以写出最后答案.缺点在于同一般立体几何方法相比,其计算量巨大,特别是在计算二面角的时候.

　　（一）直线的方向向量和平面的法向量分别为,则直线和平面所成的角等于向量所成的锐角（若所成的角为钝角,则为其补角）的余角,即.

　　例题

　　(2003全国（理）18题)如图,直三棱柱中,底面是等腰直角三角形,,侧棱,分别是与的中点,点在平面上的射影是的重心,

　　（Ⅰ）求与平面所成角的大小（结果用反三角函数值表示）；

　　（Ⅱ）求点到平面的距离.

　　（Ⅰ）以为坐标原点,建立如图所示的坐标系,

　　设,则,,,

　　,,,

　　∴,,

　　∴,,

　　由得,,

　　∴,,,设平面的法向量为,则,,由,得,

　　,令得,,

　　∴平面的一个法向量为,

　　∴与的夹角的余弦值是,

　　∴与平面所成角为.

　　当直线与平面平行时,直线与平面所成的角为,此时直线的方向向量与平面的法向量垂直,我们可利用这一特征来证明直线与平面平行.

　　（二）如果不在平面内一条直线与平面的一个法向量垂直,那么这条直线和这个平面平行.

　　例题

　　（2004年高考湖南（理）19题）如图,在底面是菱形的四棱锥中,,,点在上,且,

　　（I）证明：；

　　（II）求以为棱,与为面的二面角的大小；

　　（Ⅲ）在棱上是否存在一点,使?证明你的结论.

　　（Ⅲ）以为坐标原点,直线分别为轴、轴,过点垂直平面的直线为轴,建立空间直角坐标系（如图）,由题设条件,相关各点的坐标分别为,,

　　∴,,

　　设平面的法向量为,则由题意可知,,

　　由得,

　　∴令得,,

　　∴平面的一个法向量为

　　设点是棱上的点,则

　　,

　　由得,

　　∴,∴当是棱的中点时,.

　　同样,当直线与平面垂直时,直线与平面所成的角为,此时直线的方向向量与平面的法向量平行,我们可利用这一特征来证明直线与平面垂直.

　　（三）设二面角的两个半平面和的法向量分别为,设二面角的大小为,则二面角的平面角与两法向量所成的角相等或互补,当二面角的锐角时,；当二面角为钝角时,.

　　例题

　　2004年高考湖南（理）19题：

　　（Ⅱ）由题意可知,,,

　　∵∴为平面的一个法向量,

　　设平面的法向量为,则由题意可知,,

　　由得,

　　∴令得,,

　　∴平面的一个法向量为,

　　∴向量与夹角的余弦值是,∴,

　　由题意可知,以为棱,与为面的二面角是锐角,

　　∴所求二面角的大小为.

　　我们知道当两个平面的法向量互相垂直时,两个平面所成的二面角为直角,此时两个平面垂直,我们可用这一特征来证明两个平面垂直.

　　（四）设两个平面和的法向量分别为,若,则这两个平面垂直.

　　例题

　　（1996年全国（文）23题）在正三棱柱中,,分别是上的点,且,求证：平面平面.

　　证明：以为坐标原点,建立如图所示的坐标系,

　　则,,,,

　　∴,,

　　设平面的法向量为,则由题意可知,

　　由得,

　　∴令得,,

　　∴平面的一个法向量为,

　　由题意可知,平面的一个法向量为

　　∴∴平面平面

　　（五）设平面的法向量为,是平面外一点,是平面内一点,则点到平面的距离等于在法向量上的投影的绝对值,即.

　　我们再来看2003年全国（理）18题：

　　（Ⅱ）设,则,,,,

　　∴,,

　　设平面的法向量为,则,,

　　由,得,

　　,令得,,

　　∴平面的一个法向量为,而,

　　∴点到平面的距离.

　　我们知道直线与平面、两个平面的距离都归结为点到平面的距离,故此法同样可以解决直线与平面、两个平行平面的距离.

　　（六）设向量与两异面直线都垂直（我们也把向量称为两异面直线的法向量）,分别为异面直线上的点,则两异面直线的距离等于法向量上的投影的绝对值,即.

　　例题

　　（1999年全国（理）21题）如图,已知正四棱柱中,点在棱上,截面,且面与底面所成的角为,求异面直线与之间的距离.

　　以为坐标原点,建立如图所示的坐标系,

　　连结交于,连结,则