一、函数的起源﹙产生﹚

　　十六、十七世纪,欧洲资本主义国家先后兴起,为了争夺霸权,迫切需要发展航海和军火工业.为了发展航海事业,就需要确定船只在大海中的位置,在地球上的经纬度；要打仗,也需知道如何使炮弹打的准确无误等问题,这就促使了人们对各种“运动”的研究,对各种运动中的数量关系进行研究,这就为函数概念的产生提供了客观实际需要的基础.

　　十七世纪中叶,笛卡儿（Descartes）引入变数（变量）的概念,制定了解析几何学,从而打破了局限于方程的未知数的理解；后来,牛顿（Newton）、莱布尼兹（Leibniz）分别独立的建立了微分学说.这期间,随着数学内容的丰富,各种具体的函数已大量出现,但函数还未被给出一个一般的定义.牛顿于1665年开始研究微积分之后,一直用“流量”（fluent）一词来表示变量间的关系.

　　1673年,莱布尼兹在一篇手稿里第一次用“函数”（fluent）这一名词,他用函数表示任何一个随着曲线上的点的变动而变动的量.（定义1）这可以说是函数的第一个“定义”.例如,切线,弦,法线等长度和横、纵坐标,后来,又用这个名词表示幂,即表示x,x2,x3,….显然,“函数”这个词最初的含义是非常的模糊和不准确的.

　　人们是不会满足于这样不准确的概念,数学家们纷纷对函数进行进一步讨论.

　　二、函数概念的发展与完善

　　⒈以“变量”为基础的函数概念

　　在1718年,瑞士科学家,莱布尼兹的学生约翰·贝奴里（Bernoulli,Johann）给出了函数的明确定义：变量的函数是由这些变量与常量所组成的一个解析表达式.（定义2）并在此给出了函数的记号φx.这一定义使得函数第一次有了解析意义.

　　十八世纪中叶,著名的数学家达朗贝尔（D’Alembert）和欧拉（Euler）在研究弦振动时,感到有必要给出函数的一般定义.达朗贝尔认为函数是指任意的解析式,在1748年欧拉的定义是：函数是随意画出的一条曲线.（定义3）在此之前的1734年,欧拉也给出了一种函数的符号f(x),这个符号我们一直沿用至今.

　　实际上,这两种定义（定义1和定义2）就是现在通用的函数的两种表示方法：解析法和图像法.后来,由于富里埃级数的出现,沟通了解析式与曲线间的联系,但是用解析式来定义函数,显然是片面的,因为有很多函数是没有解析式的,如狄利克雷函数.

　　1775年,欧拉在《微分学原理》一书的前言中给出了更广泛的定义：如果某些变量,以这样一种方式依赖与另一些变量,即当后面这些变量变化时,前面这些变量也随之而变化,则将前面的变量称为后面变量的函数.（定义4）这个定义朴素地反映了函数中的辨证因素,体现了“自变”到“因变”的生动过程,但未提到两个变量之间的对应关系,因此它并未反映出真正意义上的科学函数概念的特征,只是科学的定义函数概念的“雏形”.

　　函数是从研究物体运动而引出的一个概念,因此前几种函数概念的定义只是认识到了变量“变化”的关系,如自由落体运动下降的路程,单摆运动的幅角等都可以是看成时间的函数.很明显,只从运动中变量“变化”观点来理解函数,对函数概念的了解就有一定的局限性.如对常值函数,不好解释.

　　十九世纪初,拉克若斯（Lacroix）正式提出只要有一个变量依赖另一个变量,前者就是后者的函数.1834年,俄国数学家罗巴契夫斯基（Лобачевский）进一步提出函数的定义：x的函数是这样的一个数,它对于每一个x都有确定的值,并且随着x一起变化,函数值可以由解析式给出,这个条件提供了一种寻求全部对应值的方法,函数的这种依赖关系可以存在,但仍然是未知的.（定义5）这实际是“列表定义”,好像有一个“表格”,其中一栏是x值,另一栏是与它相对应的y值.这个定义指出了对应关系（条件）的必要性,把函数的“对应”思想表现出来,而“对应”概念正是函数概念的本质与核心.

　　十九世纪法国数学家柯西（Cauchy）更明确的给出定义：有两个互相联系的变量,一个变量的数值可以在某一范围内任意变化,这样的变量叫做自变量,另一个变量的数值随着自变量的数值而变化,这个变量称为因变量,并且称因变量为自变量的函数.（定义6）

　　1829年,狄利克雷（Dirichlet）给出了所谓狄利克雷函数：y=1当x为有理数时；y=0当x为无理数时.这个函数并不复杂,但不能用解析式来表示,这一思想的提出,正是数学由过去的研究“算”到以后研究“概念、性质、结构”的转变的开端.1837年他对函数下的定义是：在某个变化过程中,有两个变量x和y.如果对于x在某一范围内的每一个确定的值,按照某个对应关系,y都有唯一确定值和它对应,则y称为x的函数；x称为自变量.（定义7）这个定义的优点是直截了当地强调与突出了“对应”关系,抓住了概念的本质属性,只须有一个法则存在,使得这个函数定义域中的每一个值有一个确定的y值和它对应就行了,不管这个法则是公式或图像或表格或其他形式;其缺点是把生动的函数变化思想省略和简化掉了.

　　⒉以“集合”为基础的函数概念

　　函数的概念是随着数学的发展而发展的.函数的定义在数学的发展过程中,不断的改进,不断的抽象,不断的完善.十九世纪七十年代,德国数学家康托（G.Cantor）提出了集合论.进入二十世纪后,伴随着集合论的发展,函数的概念也取得了新的进展,它终于摆脱了数域的束缚向更广阔的研究领域扩大,使概念获得了现代化.

　　二十世纪初美国数学家维布伦（Weblan）给出了函数的如下定义：若在变量y的集合与另一变量x的集合之间,有这样的关系成立,即对x的每一个值,有完全确定的y值与之对应,则称y是变量x的函数.（定义8）从这个定义开始,函数概念已把基础建立在集合上面,而前七个定义则是把基础建立在变量（数）上的.

　　随着时间的推移,函数便被明确的定义为集合之间的对应关系,其定义是：A和B是两个集合,如果按照某种对应关系,使A的任何一个元素在B中都有唯一的元素和它对应,这样的对应关系成为从集合A到集合B的函数.（定义9）此定义根据映射的概念,用“映射”观点建立函数概念,其又可叙述为：从集合A到集合B的映射f：A→B称为集合A到集合B的函数,简称函数f.（定义10）以上三个定义,已打破数域的束缚,将集合中的元素改为抽象的,可以是数,也可以不是数,而是其它一切有形或无形的东西,如X是所有三角形的集合,Y是所有圆的集合,则f可以是把每一个三角形映射成它的外接圆的映射.

　　对新函数定义可以这样理函数是一个对应（规则）,对于某一范围（集合）的元素,按照这个对应（规则）确定另一个元素.这样函数概念从狭义的“变化”观点转化到较广义的“对应”观点,函数即是一个对应（规则）.

　　对函数概念用“对应”（“规则”）来理解比起最初阶段虽然揭示出了函数概念的实质,但它还不符合我们最低限度地使用未被定义的术语的意图.因为什么叫“对应”和怎样理解“规则”还需要定义,例如规则不同