如何证明一个抽象函数在定于区间内可导,一般步骤是什么f(x)-查字典问答网

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　　如何证明一个抽象函数在定于区间内可导,一般步骤是什么f(x)在（0,+无穷）上连续,且对任意X1X2（x1x2在定义区间内）有f(x1乘以x2)=f(x1)+f(x2),已知f'(1)=1,证明f(x)在(0,+无穷)上可导,并求出f‘(x)

　　如何证明一个抽象函数在定于区间内可导,一般步骤是什么

　　f(x)在（0,+无穷）上连续,且对任意X1X2（x1x2在定义区间内）有f(x1乘以x2)=f(x1)+f(x2),已知f'(1)=1,证明f(x)在(0,+无穷)上可导,并求出f‘(x)

1回答

2020-02-06 23:12

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李宗阳

　　取x1=x2=1

　　则f(1*1)=f(1)+f(1)

　　故f(1)=0

　　取x1=x,x2=1/y

　　得f(x/y)=f(x)+f(1/y)

　　而f(y*1/y)=f(y)+f(1/y)=f(1)=0

　　故f(1/y)=-f(y)

　　故得f(x)-f(y)=f(x/y)

　　以上都是为下面做准备,主要得出了f(1)=0和f(x)-f(y)=f(x/y)两个结论

　　由f'(1)=1,即lim(h->0)[f(1+h)-f(1)]/h=lim(h->0)f(1+h)/h=1

　　而f'(x)=lim(h->0)[f(x+h)-f(x)]/h=lim(h->0)f(1+h/x)/h=(1/x)*lim(h->0)f(1+h/x)/(h/x)=1/x

　　所以f(x)在(0,+无穷)上可导,而f'(x)=1/x

2020-02-06 23:13:53