在数学中,e是极为常用的超越数之一

　　e的定义及推导,参高等数学（同济第五版）上册第53页.它通常用作自然对数的底数,即：In(x)=以e为底x的对数.1．当n→∞时,数列或函数f(n)=(1+1/n)^n的极限等于e；当n→0时,数列或函数g(n)=(1+n)^(1/n)的极限等于e.数列：1+1,（1+0.5）的平方,（1+0.33…）的立方,1.25^4,1.2^5,…写成公式即（1-4）函数：实际上,这里n的绝对值(即“模”)需要并只需要趋向无穷大.（1-1）sum(1/n!),n取0至无穷大自然数.即1+1/1!+1/2!+1/3!+…(参高等数学（同济第五版）上册第141页泰勒级数展开）（1-2）e^x=sum((1/n!)x^n)（1-3）[n^n/(n-1)^(n-1)]-[(n-1)^(n-1)/(n-2)^(n-2)]当n→∞时=e（1-4）(1+1/n)^n当n→∞时=e2．欧拉(Euler)公式：e^ix=cosx+i(sinx),cosx=(e^ix+e^(-ix))/2=Re(e^ix),isinx==(e^ix-e^(-ix))/2=iIm(e^ix),由此可以结合三角函数或双曲三角函数的简单性质推算出相对复杂的公式,如和角差角公式,等等,希望对朋友们学习和灵活应用它们有些帮助.（2-1）e^x=coshx+sinhx即hypcosx+hypsinx,亦记作chx,shx.2chx=e^x+e^(-x),2shx=e^x-e^(-x)3．用Windows自带的计算器计算：菜单“查看/科学型“,再依次点击1hypsin+(1hypcos1)或用键盘输入1hs+(1ho)=或(1hs+(1ho))也可以从这里用ctrl+C复制,再切换到计算器,按ctrl+V（菜单“编辑/粘贴”）,得到如下32位数值,以上是为了验证(2-1).简单地,可以点击1invLn,或输入1in,实际就是计算e^1,也可得到：e=2.7182818284590452353602874713526（第31位小数四舍五入为7）(4)自然对数当x趋近于正无穷或负无穷时,[1+(1/x)]^x的极限就等于e,实际上e就是通过这个极限而发现的.它是个无限不循环小数.其值约等于2.718281828...它用e表示,以e为底数的对数通常用于㏑,而且e还是一个超越数.e在科学技术中用得非常多,一般不使用以10为底数的对数.以e为底数,许多式子都能得到简化,用它是最“自然”的,所以叫“自然对数”.涡形或螺线型是自然事物极为普遍的存在形式,比如：一缕袅袅升上蓝天的炊烟,一朵碧湖中轻轻荡开的涟漪,数只缓缓攀援在篱笆上的蜗牛和无数在恬静的夜空携拥着旋舞的繁星……螺线特别是对数螺线的美学意义可以用指数的形式来表达：φkρ=αe其中,α和k为常数,φ是极角,ρ是极径,e是自然对数的底.为了讨论方便,我们把e或由e经过一定变换和复合的形式定义为“自然律”.因此,“自然律”的核心是e,其值为2.71828……,是一个无限不循环数.

　　“自然律”之美

　　“自然律”是e及由e经过一定变换和复合的形式.e是“自然律”的精髓,在数学上它是函数：(1+1/x)^x当X趋近无穷时的极限.人们在研究一些实际问题,如物体的冷却、细胞的繁殖、放射性元素的衰变时,都要研究(1+1/x)^xX的X次方,当X趋近无穷时的极限.正是这种从无限变化中获得的有限,从两个相反方向发展（当X趋向正无穷大的时,上式的极限等于e=2.71828……,当X趋向负无穷大时候,上式的结果也等于e=2.71828……）得来的共同形式,充分体现了宇宙的形成、发展及衰亡的最本质的东西.现代宇宙学表明,宇宙起源于“大爆炸”,而且目前还在膨胀,这种描述与十九世纪后半叶的两个伟大发现之一的熵定律,即热力学第二定律相吻合.熵定律指出,物质的演化总是朝着消灭信息、瓦解秩序的方向,逐渐由复杂到简单、由高级到低级不断退化的过程.退化的极限就是无序的平衡,即熵最大的状态,一种无为的死寂状态.这过程看起来像什么?只要我们看看天体照相中的旋涡星系的照片即不难理解.如果我们一定要找到亚里士多德所说的那种动力因,那么,可以把宇宙看成是由各个预先上紧的发条组织,或者干脆把整个宇宙看成是一个巨大的发条,历史不过是这种发条不断争取自由而放出能量的过程.生命体的进化却与之有相反的特点,它与热力学第二定律描述的熵趋于极大不同,它使生命物质能避免趋向与环境衰退.任何生命都是耗散结构系统,它之所以能免于趋近最大的熵的死亡状态,就是因为生命体能通过吃、喝、呼吸等新陈代谢的过程从环境中不断吸取负熵.新陈代谢中本质的东西,乃是使有机体成功的消除了当它自身活着的时候不得不产生的全部熵.“自然律”一方面体现了自然系统朝着一片混乱方向不断瓦解的崩溃过程（如元素的衰变）,另一方面又显示了生命系统只有通过一种有序化过程才能维持自身稳定和促进自身的发展（如细胞繁殖）的本质.正是具有这种把有序和无序、生机与死寂寓于同一形式的特点,“自然律”才在美学上有重要价值.如果荒僻不毛、浩瀚无际的大漠是“自然律”无序死寂的熵增状态,那么广阔无垠、生机盎然的草原是“自然律”有序而欣欣向荣的动态稳定结构.因此,大漠使人感到肃穆、苍茫,令人沉思,让人回想起生命历程的种种困顿和坎坷；而草原则使人兴奋、雀跃,让人感到生命的欢乐和幸福.e=2.71828……是“自然律”的一种量的表达.“自然律”的形象表达是螺线.螺线的数学表达式通常有下面五种：1．对数螺线；2．阿基米德螺线；3．连锁螺线；4．双曲螺线；5．回旋螺线.对数螺线在自然界中最为普遍存在,其它螺线也与对数螺线有一定的关系,不过目前我们仍未找到螺线的通式.对数螺线是1638年经笛卡尔引进的,后来瑞士数学家雅各·伯努利曾详细研究过它,发现对数螺线的渐屈线和渐伸线仍是对数螺线,极点在对数螺线各点的切线仍是对数螺线,等等.伯努利对这些有趣的性质惊叹不止,竟留下遗嘱要将对数螺线画在自己的墓碑上.英国著名画家和艺术理论家荷迦兹深深感到：旋涡形或螺线形逐渐缩小到它们的中心,都是美的形状.事实上,我们也很容易在古今的艺术大师的作品中找到螺线.为什么我们的感觉、我们的“精神的”眼睛经常能够本能地和直观地从这样一种螺线的形式中得到满足呢?这难道不意味着我们的精神,我们的“内在”世界同外在世界之间有一种比历史更原始的同构对应关系吗?我们知道,作为生命现象的基础物质蛋白质,在生命物体内参与着生命过程的整个工作,它的功能所以这样复杂高效和奥秘无穷,是同其结构紧密相关的.化学家们发现蛋白质的多钛链主要是螺旋状的,决定遗传的物质——核酸结构也是螺螺状的.古希腊人有一种称为风鸣琴的乐器,当它的琴弦在风中振动时,能产生优美悦耳的音调.这种音调就是所谓的“涡流尾迹效应”.让人深思的是,人类经过漫长岁月进化而成的听觉器官的内耳结构也具涡旋状.这是为便于欣赏古希腊人的风鸣琴吗?还有我们的指纹、发旋等等,这种审美主体的生理结构与外在世界的同构对应,也就是“内在”与“外在”和谐的自然基础.有人说数学美是“一”的光辉,它具有尽可能多的变换群作用下的不变性,也即是拥有自然普通规律