导数导数（Derivative）是微积分中的重要基础概念.当自变量的增量趋于零时,因变量的增量与自变量的增量之商的极限.在一个函数存在导数时,称这个函数可导或者可微分.可导的函数一定连续.不连续的函数一定不可导.导数实质上就是一个求极限的过程,导数的四则运算法则来源于极限的四则运算法则.

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　　导数（derivativefunction）

　　导数是微积分中的重要概念.

　　求导数的方法

　　导数公式及证明导数的应用

　　高阶导数高阶导数的求法

　　导数（derivativefunction）

　　导数是微积分中的重要概念.

　　求导数的方法

　　导数公式及证明导数的应用

　　高阶导数高阶导数的求法

　　导数（derivativefunction）

　　亦名纪数、微商,由速度变化问题和曲线的切线问题而抽象出来的数学概念.又称变化率.

　　如一辆汽车在10小时内走了600千米,它的平均速度是60千米／小时,但在实际行驶过程中,是有快慢变化的,不都是60千米／小时.为了较好地反映汽车在行驶过程中的快慢变化情况,可以缩短时间间隔,设汽车所在位置s与时间t的关系为s＝f（t）,那么汽车在由时刻t0变到t1这段时间内的平均速度是[f(t1)-f(t0)]/[t1-t0],当t1与t0很接近时,汽车行驶的快慢变化就不会很大,平均速度就能较好地反映汽车在t0到t1这段时间内的运动变化情况,自然就把极限[f(t1)-f(t0)]/[t1-t0]作为汽车在时刻t0的瞬时速度,这就是通常所说的速度.一般地,假设一元函数y＝f(x)在x0点的附近(x0－a,x0＋a)内有定义,当自变量的增量Δx＝x－x0→0时函数增量Δy＝f（x）－f（x0）与自变量增量之比的极限存在且有限,就说函数f在x0点可导,称之为f在x0点的导数（或变化率).若函数f在区间I的每一点都可导,便得到一个以I为定义域的新函数,记作f',称之为f的导函数,简称为导数.函数y＝f（x）在x0点的导数f'（x0）的几何意义：表示曲线l在P0〔x0,f（x0）〕点的切线斜率.一般地,我们得出用函数的导数来判断函数的增减性的法则：设y＝f(x)在（a,b）内可导.如果在（a,b）内,f'（x）>0,则f（x）在这个区间是单调增加的..如果在（a,b）内,f'（x）0且a不等于1)

　　补充一下.上面的公式是不可以代常数进去的,只能代函数,新学导数的人往往忽略这一点,造成歧义,要多加注意.

　　（3）导数的四则运算法则：

　　①(u±v)'=u'±v'

　　②(uv)'=u'v+uv'

　　③(u/v)'=(u'v-uv')/v^2

　　（4）复合函数的导数

　　复合函数对自变量的导数,等于已知函数对中间变量的导数,乘以中间变量对自变量的导数--称为链式法则.

　　导数是微积分的一个重要的支柱.牛顿及莱布尼茨对此做出了卓越的贡献!

　　[编辑本段]导数公式及证明

　　这里将列举几个基本的函数的导数以及它们的推导过程:

　　1.y=c(c为常数)y'=0基本导数公式

　　2.y=x^ny'=nx^(n-1)

　　3.y=a^xy'=a^xlna

　　y=e^xy'=e^x

　　4.f(x)=logaXf'(x)=1/xlna(a>0且a不等于1,x>0)

　　y=lnxy'=1/x

　　5.y=sinxy'=cosx

　　6.y=cosxy'=-sinx

　　7.y=tanxy'=1/(cosx)^2

　　8.y=cotxy'=-1/(sinx)^2

　　9.y=arcsinxy'=1/√1-x^2

　　10.y=arccosxy'=-1/√1-x^2

　　11.y=arctanxy'=1/(1+x^2)

　　12.y=arccotxy'=-1/(1+x^2)

　　在推导的过程中有这几个常见的公式需要用到：

　　1.y=f[g(x)],y'=f'[g(x)]��g'(x)『f'[g(x)]中g(x）看作整个变量,而g'(x)中把x看作变量』

　　2.y=u/v,y'=(u'v-uv')/v^2

　　3.y=f(x)的反函数是x=g(y）,则有y'=1/x'

　　证：1.显而易见,y=c是一条平行于x轴的直线,所以处处的切线都是平行于x的,故斜率为0.用导数的定义做也是一样的：y=c,Δy=c-c=0,limΔx→0Δy/Δx=0.

　　2.这个的推导暂且不证,因为如果根据导数的定义来推导的话就不能推广到n为任意实数的一般情况.在得到y=e^xy'=e^x和y=lnxy'=1/x这两个结果后能用复合函数的求导给予证明.

　　3.y=a^x,

　　Δy=a^(x+Δx)-a^x=a^x(a^Δx-1)

　　Δy/Δx=a^x(a^Δx-1)/Δx

　　如果直接令Δx→0,是不能导出导函数的,必须设一个辅助的函数β＝a^Δx-1通过换元进行计算.由设的辅助函数可以知道：Δx=loga(1+β).

　　所以(a^Δx-1)/Δx＝β/loga(1+β)=1/loga(1+β)^1/β

　　显然,当Δx→0时,β也是趋向于0的.而limβ→0(1+β)^1/β=e,所以limβ→01/loga(1+β)^1/β=1/logae=lna.

　　把这个结果代入limΔx→0Δy/Δx=limΔx→0a^x(a^Δx-1)/Δx后得到limΔx→0Δy/Δx=a^xlna.

　　可以知道,当a=e时有y=e^xy'=e^x.

　　4.y=logax

　　Δy=loga(x+Δx)-logax=loga(x+Δx)/x=loga[(1+Δx/x)^x]/x

　　Δy/Δx=loga[(1+Δx/x)^(x/Δx)]/x

　　因为当Δx→0时,Δx/x趋向于0而x/Δx趋向于∞,所以limΔx→0loga(1+Δx/x)^(x/Δx)＝logae,所以有

　　limΔx→0Δy/Δx＝logae/x.

　　也可以进一步用换底公式

　　limΔx→0Δy/Δx＝logae/x=lne/(x*lna)=1/(x*lna)=(x*lna)^(-1)

　　可以知道,当a=e时有y=lnxy'=1/x.

　　这时可以