【例题1】求集合{1,2}的子集

　　{1},{2},{1,2},￠

　　【例题2】求集合{1,2}的子集的集合

　　{{1},{2},{1,2},￠}

　　定义：不含任何元素的集合称为空集.表示方法：用符号ø表示

　　空集的性质：

　　空集是一切集合的子集.

　　对任意集合A,空集是A的子集；

　　∀A:{}⊆A

　　对任意集合A,空集和A的并集为A：

　　∀A:A∪{}=A

　　对任意集合A,空集和A的交集为空集：

　　某种事物不存在,就是空集.

　　∀A:A∩{}={}

　　对任意集合A,空集和A的笛卡尔积为空集：

　　∀A:A×{}={}

　　空集的唯一子集是空集本身：

　　∀A:A⊆{}⇒A={}

　　空集的元素个数（即它的势）为零；特别的,空集是有限的：

　　|{}|=0

　　集合论中,两个集合相等,若它们有相同的元素；那么仅可能有一个集合是没有元素的,即空集是唯一的.

　　考虑到空集是实数线（或任意拓扑空间）的子集,空集既是开集、又是闭集.空集的边界点集合是空集,是它的子集,因此空集是闭集.空集的内点集合也是空集,是它的子集,因此空集是开集.另外,空集是紧致集合,因为所有的有限集合是紧致的.

　　空集的闭包是空集.

　　名词解释

　　第一讲集合的概念与运算

　　【考点透视】

　　1．理解集合、子集、补集、交集、并集的概念.

　　2．了解空集和全集的意义.

　　3．了解属于、包含、相等关系的意义.掌握有关的术语和符号,并会用它们正确表示一些简单的集合．

　　4．解答集合问题,首先要正确理解集合有关概念,特别是集合中元素的三要素；对于用描述法给出的集合{x|x∈P},要紧紧抓住竖线前面的代表元素x以及它所具有的性质P；要重视发挥图示法的作用,通过数形结合直观地解决问题.

　　5．注意空集的特殊性,在解题中,若未能指明集合非空时,要考虑到空集的可能性,如AB,则有A=或A≠两种可能,此时应分类讨论.

　　【例题解析】

　　题型1．正确理解和运用集合概念

　　理解集合的概念,正确应用集合的性质是解此类题目的关键.

　　例1.已知集合M={y|y=x2＋1,x∈R},N={y|y=x＋1,x∈R},则M∩N=（）

　　A．（0,1）,（1,2）B．{（0,1）,（1,2）}C．{y|y=1,或y=2}D．{y|y≥1}

　　思路启迪：集合M、N是用描述法表示的,元素是实数y而不是实数对(x,y),因此M、N分别表示函数y=x2＋1(x∈R),y=x＋1(x∈R)的值域,求M∩N即求两函数值域的交集．

　　M={y|y=x2＋1,x∈R}={y|y≥1},N={y|y=x＋1,x∈R}={y|y∈R}．

　　∴M∩N={y|y≥1}∩{y|y∈R}={y|y≥1},∴应选D．

　　点评：①本题求M∩N,经常发生解方程组

　　从而选B的错误,这是由于在集合概念的理解上,仅注意了构成集合元素的共同属性,而忽视了集合的元素是什么．事实上M、N的元素是数而不是点,因此M、N是数集而不是点集．②集合是由元素构成的,认识集合要从认识元素开始,要注意区分{x|y=x2＋1}、{y|y=x2＋1,x∈R}、{(x,y)|y=x2＋1,x∈R},这三个集合是不同的．

　　例2.若P={y|y=x2,x∈R},Q={y|y=x2＋1,x∈R},则P∩Q等于（）

　　A．PB．QC．D．不知道

　　思路启迪：类似上题知P集合是y=x2（x∈R）的值域集合,同样Q集合是y=x2＋1（x∈R）的值域集合,这样P∩Q意义就明确了．

　　事实上,P、Q中的代表元素都是y,它们分别表示函数y=x2,y=x2＋1的值域,由P={y|y≥0},Q={y|y≥1},知QP,即P∩Q=Q．∴应选B．

　　例3.若P={y|y=x2,x∈R},Q={(x,y)|y=x2,x∈R},则必有（）

　　A．P∩Q=B．PQC．P=QD．PQ

　　思路启迪：有的同学一接触此题马上得到结论P=Q,这是由于他们仅仅看到两集合中的y=x2,x∈R相同,而没有注意到构成两个集合的元素是不同的,P集合是函数值域集合,Q集合是y=x2,x∈R上的点的集合,代表元素根本不是同一类事物．

　　正确解法应为：P表示函数y=x2的值域,Q表示抛物线y=x2上的点组成的点集,因此P∩Q=．∴应选A．

　　例4若,则=（）

　　A．{3}B．{1}C．D．{－1}

　　思路启迪：

　　应选D．

　　点评：解此类题应先确定已知集合．

　　题型2．集合元素的互异性

　　集合元素的互异性,是集合的重要属性,教学实践告诉我们,集合中元素的互异性常常被学生在解题中忽略,从而导致解题的失败,下面再结合例题进一步讲解以期强化对集合元素互异性的认识．

　　例5.若A={2,4,3－22－＋7},B={1,＋1,2－2＋2,－(2－3－8),3＋2＋3＋7},且A∩B={2,5},则实数的值是________．

　　解答启迪：∵A∩B={2,5},∴3－22－＋7=5,由此求得=2或=±1．A={2,4,5},集合B中的元素是什么,它是否满足元素的互异性,有待于进一步考查．

　　当=1时,2－2＋2=1,与元素的互异性相违背,故应舍去=1．

　　当=－1时,B={1,0,5,2,4},与A∩B={2,5}相矛盾,故又舍去=－1．

　　当=2时,A={2,4,5},B={1,3,2,5,25},此时A∩B={2,5},满足题设．

　　故=2为所求．

　　例6.已知集合A={,＋b,＋2b},B={,c,c2}．若A=B,则c的值是______．

　　思路启迪：要解决c的求值问题,关键是要有方程的数学思想,此题应根据相等的两个集合元素完全相同及集合中元素的确定性、互异性,无序性建立关系式．

　　分两种情况进行讨论．

　　（1）若＋b=c且＋2b=c2,消去b得：＋c2－2c=0,

　　=0时,集合B中的三元素均为零,和元素的互异性相矛盾,故≠0．